ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ Точки, в которыхнарушается непрерывность функции,называются точками разрыва функции. Если х=х 0 -точка разрыва функции у=f(х),то вней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности, а именно: 1.Функция определена в окрестности точки х 0, но не определена в самой точке х 0 Например,функция не определена в точке х 0 =2

2.Функция определена в точке х 0 и ее окрестности, но не существует предела f(х) при. Например, функция : f(х)= Определена в точке х 0 =2 (f(2)=0), Однако в точке х 0 =2 имеет разрыв (см.рисунок) т.к. эта функция не имеет предела при :

3.Функция определена в точке х 0 и ее окрестности, существует,но этот предел не равен значению функции в точке х 0 : Например, функция Здесь х 0 =0 – точка разрыва: а g(х 0 )=g(0)=2 (см.рис.)

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы),т.е При этом: а) если А 1 =А 2, то точка х 0 называется точкой устранимого разрыва б)если то точка х 0 называется точкой конечного разрыва Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода. Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x),если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа ) не существует или равен бесконечности. 1.Обратимся к функции, х 0 =2 – точка разрыва второго рода.

2.Для функции f(x)= Х 0 =2 – точка разрыва первого рода, скачок функции равен 3. Для функции Х 0 =0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x)=1 (вместо g(x)=2) при х=0, разрыв устраниться,функция станет непрерывной. Пример: Дана функция Найти точки разрыва,выяснить их тип. Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси,кроме точки х=3.

Очевидно,f(x)= Следовательно, Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода.Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2.