Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Неявно заданная функция Если функция задана уравнением у=f(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде ( явная функция). Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0,не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у=f(х) можно записать как неявно заданную уравнением f(х)-у=0, но не наоборот. Не всегда легко,а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например у+2х+cosy-1=0 или 2 у -х+у=0). Если функция задана неявно, то для нахождения производной от у по х нет необходимости рахрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х,рассматривая при этом у как функцию х,и полученное затем уравнение разрешить относительно.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у. Пример: Найти производную функции у, заданную уравнением Решение : Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство Из полученного соотношения :

Функция,заданная параметрически Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений (1) Где t- вспомогательная переменная,называемая параметром. Функцию у=f(х), определяюмую параметрическими уравнениями(1), можно рассматривать как сложную функцию у=у(t), где. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:. Где Получаем:

Полученная формула позволяет находить производную От функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х. Пример: Пусть Найти. Решение: Имеем Следовательно, т.е. В этом можно убедиться,найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно, Тогда Отсюда, Т.е.

Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать.А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. Пример: Найти производную функции Решение:Можно найти с помощью правил и формул дифференцирования.Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию: Дифференцируем это равенство по х:

Выражаем : Т.е Существуют функции,производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием.К их числу относится так называемая степенно-показательная функция. Где u=u(x) и v=v(x) –заданные дифференцируемые функции от х.Найдем производную этой функции: Логарифмируем : Дифференцируем:

Выражаем : Т.е.: Или (*) Правило :Производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u=соnst,и производной степенной функции,при условии v=const/

Пример: Найти производную функции Логарифмируем: Дифференцируем:

Подставляем в полученное равенство Получим: