Элементы векторной алгебры. Векторы. Основные понятия. Отрезок [AB], у которого указаны его начальная точка A и конечная точка B, называется направленным отрезком. Вектором называется любой параллельный перенос в пространстве. Определенный так вектор может быть задан с помощью направленного отрезка [AB], где А – какая-либо точка пространства, а В – ее образ при данном параллельном переносе. Два направленных отрезка [АВ] и [CD] изображают один и тот же вектор, если их длины равны, прямые (АВ) и (CD) параллельны (в т.ч. совпадают), а направление от А к В одинаково с направлением от C к D. Таким образом, направленных отрезков, изображающих один и тот же вектор, бесконечное множество.

Обозначения:,, Равенство = означает, что направленные отрезки [AB] и [CD] определяют один и тот же вектор. Длиной (модулем) вектораназывается длина отрезка [AB]. Обозначения:, AB Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым и обозначается. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (или ортом). На чертежах векторбудем обозначать стрелкой с началом в точке А и концом в точке В: A B

Два ненулевых вектора называются компланарными, если они могут быть изображены направленными отрезками параллельных прямых (в т.ч., одной и той же прямой). Три ненулевых вектора называются коллинеарными, если они могут быть изображены направленными отрезками, принадлежащими параллельным плоскостям (в том числе, одной и той же).

и Линейные операции над векторами Отложить векторот точки С – это значит построить направленный отрезок [CD], изображающий вектор Суммой+двух векторовиназывается вектор, идущий из начала векторав конец вектора, который откладывается из конца вектора (правило треугольника). + Правило параллелограмма: если векторыотложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то сумма+есть вектор, совпадающий с вектором-диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала векторов и

+= Отсюда следует, что +=+ Сложение многих векторов может производиться при помощи последовательного применения правила треугольника. Другое правило: сумма+++ … +векторов,, … строится так: от произвольной точки 0 откладывают вектор, затем от конца отложенного вектора a откладывают вектор, затем от конца отложенного вектора откладывают вектори т.д. При этом началом вектора суммы++… служит точка 0, а его концом – конец последнего отложенного вектора +++ … + 0

-. Преобразование, обратное по отношению к вектору, называется противоположным вектором (обозначается). Противоположный вектор имеет ту же длину, что и вектор, но направлен в сторону, противоположную Разностью -называется такой вектор, что+= Легко видеть, что -=+ (-). Т.е. построение разности равносильно прибавлению к одному вектору вектора, противоположного другому. Свойства сложения векторов: 1.+=+ 2.+() +=+ ()+ 3.+= 4.+ (-)= -

+ = λ Умножение вектора на число. Произведением ненулевого векторана число λ, называется вектор = λ, коллинеарный вектору, имеющий длину=λ и направленный в ту же сторону, что и вектор, если λ>0, и в противоположную, если λ

Пр L Проекция вектора на ось. Пусть даны ось L и вектор=. Обозначим через А и В соответственно проекции точек А и В на ось L. Проекцией векторана ось L (обозначение: Пр L называется число, равное длине вектора, взятое со знаком «+», если направления вектора и оси L совпадают, и со знаком «-» в противном случае. Аналогично определяется проекция вектора на вектор. Справедлива формула:= cosφ, где φ – угол между вектором и осью L.

Ox, Oy, Oz, называется координатным базисом, а сами векторы – базисными ортами. Пусть М – некоторая точка пространства, М х – ее проекция на ось Ох. Тогда абсциссой х точки М называется длина вектора Метод координат. (1) Координаты точек. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат: Тройка единичных векторов,, направленных по координатным осям со знаком «+», если направления этого вектора и векторасовпадают, и со знаком «-» в противном случае. Аналогично определяются ордината у и аниликата z точки M. Обозначение: М(x,y,z). Ox - ось абсцисс Oy - ось ординат Oz - ось аппликат

, = l + m + n (2) Координаты вектора. Координатами a x, a y, a z вектораназываются проекции этого вектора на оси Ох, Оу, Оz.В этом случае пишут: = { a x ; a y ; a z }, или= ( a x ; a y ; a z ). Любой векторможет быть представлен в виде линейной комбинации ортов: (l, m, n – действительные числа). Эта комбинация единственна и называется разложением вектора по базису. Оказывается, что коэффициенты этого разложения l, m, n совпадают с координатами вектора, т.е. = а x + a y + a z.

Пусть известны координаты точек A (x A ; y A ; z A ) и B (x B ; y B ; z B ). Тогда координаты векторавычисляются по формуле: = (x B - x A ; y B - y A ; z B - z A ). Правила действий с векторами, заданными своими координатами. Пусть даны векторы= ( a x ; a y ; a z )и= ( b x ; b y ; b z ). Тогда: 1. ± ( a x ± b x ; a y ± b y ; a z ± b z ) 2.λ=( λa x ; λa y ; λa z ) Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов = ( a x ; a y ; a z )и= ( b x ; b y ; b z ) : axax bxbx = ayay byby = azaz bzbz = λ=>= λили= λ

Длина вектора = ( a x ; a y ; a z ) вычисляется по формуле: Расстояние между двумя точками A (x A ; y A ; z A ) и B (x B ; y B ; z B ) равно длине вектораили, и, следовательно, может быть вычислено по формуле: AB ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 + ( z B – z A ) 2 Деление отрезка в данном отношении. Если т. М (x, y, z) делит отрезок между точками A (x A ; y A ; z A ) и B (x B ; y B ; z B ) в отношении λ, считая от первой точки А, то ее координаты находятся по формулам: x A +x B 1+ λ x M = y A +y B 1+ λ y M = z A +z B 1+ λ z M =

В частности, при делении отрезка пополам λ = 1 и координаты середины будут: x A +x B 2 x = y A +y B 2 y = z A +z B 2 z = Направляющие косинусы. Если α, β, γ – углы, которые составляет вектор с осями координат, то cos α, cos β, cos γ называется направляющими косинусами вектора. Вспоминая формулу для проекции вектора на ось, получим: a x = cosαa y = cosβa z = cosγ Подставив эти формулы в формулу для длины вектора, получим: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1