Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида Находятся с помощью формул:

Пример 1. Найти интеграл: Решение:Воспользуемся формулой Получим: Тогда

Пример2. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда

Пример3. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда:

Интегралы типа Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы: 1)Подстановка если целое положительное нечетное число; 2)Подстановка если целое положительное нечетное число; 3)Формулы понижения порядка: Если целые неотрицательные четные числа; 4)Подстановка если есть четное отрицательное целое число.

Пример1. Найти интеграл: Решение: Применим подстановку Т.к.n=5 (1 cлучай). Тогда Получим:

Пример 2.Найти интеграл: Решение: воспользуемся формулой:

Пример 3. Найти интеграл: Решение:Здесь (4 случай) Обозначим Тогда Получим:

Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрическихфункций.Функцию с переменными и,над которыми выполняются рациональные действия (сложения,вычитание,умножение иделение) Принято обозначать знак рациональной функции. Вычисление неопределённых интегралов типа Сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой,которая называется универсальной

Действительно, Поэтому Где рациональная функция от.Обычно этот способ весьма громоздкий,зато всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие,более простые подстановки, в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной функции.В частности,удобны следующие правила: 1)Если функция нечётна относительно Т.е, то подстановка рационализирует интеграл; 2)Если функция нечётна относительно Т.е.,то делается подстановка 3)Если функция четна относительно,то интеграл рационализируется подстановкой.Такая же подстановка применяется,если интеграл имеет вид

Пример: Найти интеграл Решение: Сделаем универсальную подстановку Тогда Следовательно

Пример: Вычислить Решение: Так как Функция четна относительно То полагаем.Отсюда Поэтому