Интегрирование дробно-рациональных функций Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью)называется функция,равная отношению двух многочленов,т.е.,где - многочлен степени m,а -многочлен степени n. Рациональная дробь называется правильной,если степеньчислителя меньше степени знаменателя,т.е. в противном случае (если )рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно,путем деления числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби т.е. Например Делим числитель на знаменатель в столбик. Получим частное и остаток. Следовательно

Правильные рациональные дроби вида: 1) 2) 3) (корни комплексные,т.е. ) 4) (k >2,корни знаменателя комплексные), Где А,а,М,N,р,q-действительные числа,называются простейшими рациональными дробями 1,2,3 и 4 типов.

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь Знаменатель которой разложен на множители можно представить (и притом единственным образом ) в виде следующей суммы простейших дробей: (*) где некоторые действительные коэффициенты.

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: 1) 2) 3) Для нахождения неопределённых коэффициентов Можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:

1)В правой части равенства(*)приведем к общему знаменателю ;в результате получим тождество гдеS(x)-многочлен с неопределёнными коэффициентами. 2)Так как в полученном тождестве знаменатели равны,то тождественно равны и числители, т.е. 3)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений,из которой и определим искомые коэффициенты

Пример: Представить дробь В виде суммы простейших дробей. Решение: Согласно теореме имеем: Отсюда следует Приравнивая коэффициенты при получаем

Решаем систему, находим, что Для нахождения неопределённых коэффициентов применяют также метод отдельных значений аргумента после получения тождества(**) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределённых коэффициентов(обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена

Найдём интегралы от простейших рациональных дробей. 1) (формула (2) таблицы интегралов) 2) (формула (1)) 3) Выделяем в знаменателе полный. квадрат, делаем замену и подстановку в числителе.

Пример: Найти Решение:

Интегрирование рациональных дробей Сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей: 1). Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби; 2)Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рациональных дробей; 3)Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример:Найти интеграл Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим её целую часть путём деления числителя на знаменатель. Получаем: Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

Отсюда следует,что Находим : Таким образом получаем,что: Найдем искомый интеграл, преобразуя подынтегральную дробно- рациональную функцию, представляя её в виде полученной суммы.

НАЙДЁМ ИНТЕРГАЛ:

Следовательно, Отметим,что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Пример:Вычислить Решение: Преобразуем знаменатель дроби Выделим целую часть в дроби (поделим многочлен, стоящий в числителе на многочлен знаменателя) Поэтому Дробь

Умножая обе части равенства на(х-3)(х-4),получаем Решая систему с двумя неизвестными находим значения А=-32;В=70. Дробь А

Пример: Вычислить Решение: Так как А корни трёхчлена комплексны, то дробь запишем в виде

Откуда вычитая из(2)-(3) получим: Таким образом имеем: Тогда:

Решим отдельно второй интеграл т.к. первый табличный 2: Пусть 1) 2)