Множество комплексных чисел.

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z) Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b) Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d. Комплексное число a-bi называется комплексно сопряженным с числом a+bi и обозначается через = a-bi Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

Арифметические операции над комплексными числами Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число (a+c; b+d). Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z z = w + u.

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d). Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют комплексное число (ac – bd; ad + bc) Частным от деления z на w называют число u, равное: u

Нахождение степеней числа i Если показатель степени i делится на 4, то значение степени равно 1, если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.

Вычислить: 1) i 66, 2) i 143, 3) i 216,4)i 137 Решение: 1) i 66 66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i 66 =-1 2)i :4=35(3).В остатке 3, значит i 143 =-i 3)i :4=54(0).в остатке 0, значит i 216 =1 4)i :4=34(1).В остатке 1, значит i 137 =i,

Пример 1 Вычислить:

Геометрический смысл комплексного числа Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один и только один вектор с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi y x M(a;b) 0 b a

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ), где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде: z = r(cosφ + isinφ), где - модуль, а φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами: Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

Пример2. Записать в тригонометрической форме: Сначала находим модуль числа: Далее, согласно формулам (*), имеем: Учитывая, что угол Итак,

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются). (1) (2)

Пример3. Выполнить действия: Используя формулу (1), находим:

При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень n модуль данного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени: формула Муавра

Корень n-й степени из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле : Здесь к = 0, 1, 2, … n-1

Пример4. Решить уравнение Корнями данного уравнения являются все значения Для числа - 4 имеем r =2, Согласно формуле(3), находим: Если к = 0, то Если к = 1, то

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера Если комплексному числу, модуль которого равен 1, поставить в соответствие показанное выражение, то получим соотношение то получим соотношение которое называется формулой Эйлера. Любое комплексное число можно записать в виде. Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Пример: Записать число в показательной форме. Решение: Здесь тогда показательная форма числа имеет вид.

Пример: Записать число в показательной форме. Решение. Что бы представить число в виде нужно найти модуль и аргумент числа. Здесь тогда так как точка лежит на мнимой оси комплексной плоскости. Зная r и, получим.

Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел и справедливы формулы а для n-й степени комплексного числа используется формула

Для вычисления корня из комплексного числа используется формула где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1.

Понятие функции комплексного переменного и отличие от действительного анализа Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости Определение. Функцией комплексного аргумента с областью определения D называется соответствие,которое любому комплексному числу сопостовляет одно или несколько комплексных значений. Таким образом, в отличие от действительного анализа, в комплексном анализе допускаются многозначные функции. Например, f(z)=az+b (a, b – фиксированные комплексные числа)- однозначная функция; - однозначная функция

- n-значная функция; -бесконечнозначная функция. Если функция однозначна,то она может быть задана в виде отображения В таком случае функция называется однолистной.В дальнейшем, если не указано особо,будем рассматривать однолистные функции.

Пример: Для функции найти Решение: Подставим в место z значение i в функцию Ответ: f(i)=1

Компоненты функции Пусть дана функция, Представим z в алгебраической форме Значение f(x)- комплексное число,т.е.,которое также можем представить в алгебраической форме,где и -действительные функции комплексного аргумента,но задание я эквивалентно заданию пары(x,y).Окончательно,любую функцию комплексного аргумента можно представить в виде,где и - действительные функции двух действительных переменных.Функции u и v называются компонентами функции f(z),u- действительная компонента,v-мнимая компонента.Пишут :

Пример: Для функции Где найти ее действительную и мнимую часть. Решение: (x+iy) 2 +4i=x 2 +2ixy-y 2 +4i=(x 2 -y 2 )+(2xyi+4i)=(x 2 -y 2 )+i(2xy+4). Тогда действительная часть функции f(z) - x 2 -y 2,а мнимая - 2xy+4.

Понятие непрерывности определяется аналогично действительному случаю. F(z)-непрерывна в точке Так как это определение формально совпадает с обычным,то все свойства непрерывной функции комплексного аргумента совпадают дословно со свойствами действительных функций.