Определенный интеграл продолжение

План лекции: I.Замена переменной в определенном интеграле. II.Приложения определенного интеграла. III.Функции нескольких переменных (частные производные, дифференцирование сложных функций, экстремумы функций нескольких переменных)

I. Замена переменной в определенном интеграле При вычислении определенного При вычислении определенного интеграла методом замены переменной данный интеграл с помощью замены ψ(х) = t преобразуется в другой определенный интеграл с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования х 1 = a и х 2 = b

заменяются новыми пределами t 1 = ψ(a) и t 2 = ψ(b) согласно уравнению замены: Пример. Вычислить Сделаем замену:

Вычислим новые пределы интегрирования: Вычислим новые пределы интегрирования:приприТеперь

II. Приложения определенного интеграла. 1.Площадь плоской фигуры: а)площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и двумя непрерывными кривыми y = f 1 (x) и y = f 2 (x), где разность функций имеет постоянный знак, находится по формуле

Если знаки разности функций известны, то знаки модуля можно опустить согласно определению модуля

б) В случае, если фигура ограничена по бокам точками пересечения кривых f 1 (x) и f 2 (x), то площадь вычисляется по такой же формуле, но пределы интегрирования находятся как абсциссы этих точек пересечения.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 + 4x и прямой y = x + 4. Сделаем чертеж: Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 + 4x и прямой y = x + 4. Сделаем чертеж:

Предел a = -4 находится по построению. Предел a = -4 находится по построению. Найдем оба предела интегрирования как абсциссы точек пересечения линий. Так как в точках пересечения значения обеих функций y 1 и y 2 равны, то Найдем оба предела интегрирования как абсциссы точек пересечения линий. Так как в точках пересечения значения обеих функций y 1 и y 2 равны, то

Тогда Тогда кв. ед. кв. ед.

2. Решение физических задач a)Если точка движется по некоторой кривой со скоростью v(t) 0, то путь, пройденный точкой за время [t 1 ; t 2 ], равен

Расслабляйся!