Функциональные ряды. Функциональные ряды.

Опр-е: Выражение f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)+… (1) называется рядом относительно переменной x. Придавая переменой x некоторое значение x 0,x 1 и т.д., мы будем получать те или иные числовые ряды. Придавая переменой x некоторое значение x 0,x 1 и т.д., мы будем получать те или иные числовые ряды. В зависимости от значения, принимающего переменной x, численный ряд может оказаться сходящимся или расходящимся. Опр-е: Совокупность всех значений переменной x, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Опр-е: Функциональный ряд вида a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n +… (2), где а 0, а 1, а 2 … не зависят от переменой x, называется степенным рядом относительно переменных x. Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x 0,то он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых. Наоборот, если ряд (2) расходится при x=x 0, он расходится при всех значениях x, для которых Для каждого степенного ряда существует такое вещественное неотрицательное число R, что при |x| R расходится. R-радиус сходимости. Опр-е: Область значений переменной x, удовлетворяющих соотношению –R< x

3) Ряды вида 2 не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III классам. Теорема: Пусть для ряда (2) существует и отличен от нуля предел: Тогда R= # Составим предел отношения Интервал сходимости: -3

Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R с центром в точке x=a. Разложение функций в степенные ряды Ряд Тэйлора Если функция F(x) является суммой ряда (3), то в этом случае говорят, что F(x) разлагается в ряд по степеням (x-a) Мы имеем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда (т.е. многочленов). I.Если функция F(x) на интервале (х 0 -R; х 0 +R) располагается в степенной ряд F(х)= (4) F(х)= (4) то это разложение единственно.

Коэффициент (4) определяется единственным образом функциями: (5) Подставляя выражения (5) в равенство (4) получаем ряд Тейлора – разложением функции F(х) по степеням разности (х-а). Пример: Найти коэффициент а 4 в разложении функции f(x)=x 3 -1 по степеням разности (x-1). f(x)=3x 2 f(x)=6x f(x)=6 f IV (x)=0 a 4 =0

Пример: f(x) = 4x 5 -10x 3 +3 разложить по степеням (x-1) чему равен коэффициент при (x-1) 2. Порядок 5, значит слагаемых будет 6. F(x)=20х 4 -30х 2 F(x)=80х 3 -60х F(1)=80-30=20 Ряды Фурье Опр-е: Тригонометрический ряд вида: (8) (8) где а 0,а n,b n (n=1,2 и т.д.) – постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда, называется рядом Фурье ф-ции f(x).

f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по формулам: Достаточные условия представимости функции ряда Фурье. Пусть функция f(x) на отрезке [- ; ] удовлетворяет условиям Дирихле: 1. Это значит, что функция на этом отрезке непрерывна или кусочно – непрерывна (т.е. имеет конечное число точек разрыва первого рода) 2. Монотонна или кусочно-монотонна.

т. Дирихле: т. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [-π; π], то ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна: 1. значению функции f(x) в точках непрерывности функции, из интервала (-π; π) 2.(f(x 0 -0)+f(x 0 +0))/2 во всех точках разрыва х 0. 3.(f(π-0)+f(-π+0))/2– на концах отрезка [-π; π].

Если f(x) - четная функция на отрезке [-π; π], т.е. f(-x)=f(x); xє [-π; π], то ее коэффициенты Фурье b n =0 коэффициент a n – можно вычислить по формулам (9). Если f(x) нечетная функция то коэффициент a n =0. Таким образом, если функция четная, то ее ряд Фурье содержит только cos(nx) (неполный ряд по cos(nx)), а если не четная, то содержится только sin(nx) (неполный по sin(nx)).

Разложение функции в неполный ряд Фурье. Разложения будет неполным (говорят о неполном ряде Фурье), если исходящая функция является :Разложения будет неполным (говорят о неполном ряде Фурье), если исходящая функция является : а) четнойа) четной –разложение по косинусам: Тогда функция будет представима в виде ряда

б ) нечетная – разложение по синусам: Тогда функция будет представима в виде ряда

в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция продолжается на другой полуинтервал и просчитываются соответствующие коэффициенты (a k или b k ). Пример: Разложить функцию f(x)=x на [0; ] в ряд Фурье по синусам(как нечетную) Зададим продолжение функции на интервале [0; ] как нечетную функцию.

на Упр: Упр: та же функция, продолжение - четное.

Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье. С помощью имеющегося разложения в ряд Фурье можно вычислять значения сумм числовых рядов, соответствующих данному ряду. Пример: Дана функция Вычислив коэффициенты ряда Фурье, имеем: Найти сумму числового ряда, используя это разложение:

Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем cos(2k-1)x, который является мнимым. Пусть cos(2k-1)x=1, тогда: cos(2k-1)x=1 (2k-1)x=0 (2k-1)x=0 x=0 в этой точке функция f(x) определена и значит по теореме Дирихле сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x), f(0)=-x|0=-0=0 x=0 в этой точке функция f(x) определена и значит по теореме Дирихле сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x), f(0)=-x|0=-0=0 Рассчитаем третье слагаемое: Подставим все найденные значения в разложение:

Упр: Упр: с помощью разложения функции f(x)=x 2 найти сумму числового ряда