Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики: Перестановки; Размещения; Сочетания.

План: I. Классическое определение вероятности события. Его недостатки. Его свойства. II. Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события. III. Элементы комбинаторики: 1) Перестановки; 2) Размещения; 3) Сочетания.

I.Классическое определение вероятности события. Его недостатки. Его свойства. Рассмотрим следующую классическую схему: 1. Пространство элементарных исходов - конечно; т.е. состоит из конечного числа элементарных исходов. 2. Элементарные исходы i равновозможные.

Определение: Def: Вероятностью случайного события А называется число Р (А), которое вычисляется по формуле:,где n – число элементарных исходов, m - число исходов, благоприятствующих А.

Свойства вероятности согласно классическому определению. P()=1; P(Ø)=0; 0P(A)1, A- случайное событие.

Слабые стороны классического определения вероятности: 1) Не всегда интересующие нас событие можно представить в виде совокупности элементарных исходов. 2) Даже если удастся построить пр-во элементных исходов, зачастую нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными. 3) Во многих случаях пр-во элементарных исходов бесконечно

II.Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события. В основе статистического определения вероятности лежит понятие частоты. Def: О т н о с и т е л ь н о й ч а с т о т о й (А) случайного события А - называется отношение числа m испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу n, фактически проведённых испытаний.

Пример: # Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение герба, то (А)= =0,47 ! Относительная частота – величина случайная.

Свойства относительной частоты: Из определения следует, что: ()=1 (Ø)=0 - Ø-невозможное событие. 0(А)1

Свойство устойчивости: Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что: в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. В качестве статистической вероятности случайного события выбирают относительную частоту этого события или число, близкое к относительной частоте.

Для существования статической вероятности события А требуется: а)Возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; б)Устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

III.Элементы комбинаторики: перестановки; размещения; сочетания. Def: Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом количества комбинаций элементов, которые можно составить по определённым правилам из элементов конечных множеств. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Комбинации без повторении элементов. М - конечное множество, содержащее n различных элементов. M={a 1,a 2,…,a n }

1) Перестановки без повторений: Def: перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех, возможных перестановок P n =n!, где n!=123...n 0!=1

Пример: # Каждое расположение трёх различных книг в определенном порядке (на полке) представляет собой перестановку из 3-х книг, и следовательно, м. б. реализовано P 3 =3! =6 различными способами.

2)Размещения без повторений. Def: Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Пример: # Сколько можно составить сигналов из 7 флагов разного цвета, взятых по 3?

3)Сочетания без повторений. Def: Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний:

Пример: # Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Равенство: Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

Замечание: Предполагалось, что все n элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями: где