Системы счисления Информатика Е.Н. Березин, 2007

Число ЗначениеФорма записи Система счисления - это способ наименования и изображения чисел с помощью цифр, то есть символов, имеющих определенные количественные значения.

Система счисления Система счисления - совокупность приемов наименования и записи чисел Унарная Позиционная Непозиционная

Системы счисления ОснованиеСистема счисленияЗнаки 2Двоичная0,1 3Троичная0,1.2 4Четвертичная0,1,2,3 5Пятиричная0,1,2,3,4 8Восьмиричная0,1,2,3,4,5,6,7 10Десятичная0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 12Двенадцатиричная0,1,2,3,4,5,б,7,8,9,А,В 16Шестнадцатиричная0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Непозиционная система счисления В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа (значение знака не зависит от того места, которое он занимает числе). Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого- либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы. I V X LCDM

Запись чисел в непозиционной системе счисления осуществляется по следующим правилам: если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой Пример: (IV: 1 < 5, следовательно, 5 – 1 = 4, ХL: 10 < 50, следовательно, = 40); если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются Пример: (VI: = 6, VIII: =8, XX: = 20). Непозиционная система счисления

Позиционная система счисления В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. Основанием системы счисления называется количество различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления,. Позицией называется место каждой цифры в числе. Число в системе счисления с основанием P равно: A n A n-1 A n-2 … A 1 A 0,A -1 A n-2 = А n *P n + A n-1 *P n A 1 *P 1 + А 0 *P 0 + A -1 *P -1 + А -2 *P А -s *P -s нижние индексы - определяют месторасположение цифры в числе n и s - количества разрядов для записи целой и дробной части числа соответственно.

Позиционная система счисления Число в системе счисления с основанием P равно: A n A n-1 A n-2 … A 1 A 0,A -1 A n-2 = А n *P n + A n-1 *P n A 1 *P 1 + А 0 *P 0 + A -1 *P -1 + А -2 *P А -s *P -s

Примеры Десятичная система 23,43 10 = 2* З* * З* = 6* * Двоичная система = 1* *2 2 +0* *2 0 Двоичная система 341,5 8 =3* *8 1 +1*8 0 +5*8 -1 Шестнадцатеричная система A1F4 16 = A* * F* *16 -1

Позиционная система счисления максимальное целое число, которое может быть представлено в n разрядах минимальное значащее число (не равное 0), которое можно записать в s разрядах дробной части Всего можно записать разрядных чисел Диапазон значащих чисел N в системе счисления с основанием P при наличии n разрядов в целой части и s разрядов в дробной части (без учета знака числа) будет:

Двоичная система счисления 1.Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы. 2.Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и скорость работы. 3.Простота создания таблиц сложения и умножения. Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2, цифры 0 и 1. Преимущества:

Двоичная система счисления Восемь бит дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: Номера битов: Значения битов: "выключено" ( ) "включено" ( ).

Число в двоичной системе счисления A= A n *2 n + A n-1 *2 n A 1 *2 1 + A 0 *2 0 A i = 0 / 1

0 + 0 = = = = 0 (перенос 1 в старший разряд) 0 * 0 = 00 * 1 = 01 * 0 = 01 * 1 = 1 Двоичная система счисления Таблица сложения: Таблица умножения:

Преобразование чисел из двоичной системы Преобразование двоичных чисел в десятичные или 1*2 0 +1*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +1*2 4 +1*2 5 = =1 2 1 =2

Преобразование десятичных чисел в двоичные = =

Восьмеричная система счисления Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 8, цифры от 0 до 7.

Таблица сложения для восьмеричной системы счисления

Таблица умножения для восьмеричной системы счисления *

Двоичное, десятичное и шестнадцатеричное представления A B C D E F

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую. Информатика

Правило 1 Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q заключается в последовательном нахождении остатков от деления числа x на основание Q, при этом процесс продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания Q. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием P, т.е. основание Q должно также быть выражено в системе счисления с основанием P. Остатки от деления должны быть выражены цифрами системы счисления с основанием R. Представление искомого числа в системе счисления с основанием R получается выписыванием последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

Правило 2 Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем представления числа х по степеням основания P. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием Q, т. е. основание P и цифры исходного числа должны также быть выражены в системе счисления с основанием Q. На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе десятичную систему счисления. 23Е 16 = ? 10 = 2* * Е*16 0 = = 1*8 3 +0*8 2 +7*8 1 +6*8 0 =

Правило 3. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по Триадам = Двоичный кодВосьмеричная цифра Десятичный эквивалент

Правило 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по тетрадам. 23E 16 =

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную Ответ: = = = 4B 16.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую Как правило, это происходит через промежуточный перевод в десятичную систему:

Если основание СС -p, простая дробь содержит n цифр и b k – цифры дроби (1 k n, 0 b k p -1 ), то она может быть представлена в виде суммы: O,Y p = b k p -k 0,011 2 =0* * *2 -3 =0, Шаг 1

Шаг 2 1.Умножить исходную дробь в десятичной СС на q, выделить целую часть – она будет первой цифрой новой дроби, отбросить дробную часть; 2.Для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробной частей повторять, пока в дробной части не останется 0, или не будет достигнута желаемая точность. Появляющиеся при этом целые будут цифрами новой дроби; 3.Записать дробь в виде последовательности цифр после ноля с разделителем в порядке их появления в п.1 и 2.

Пример 0, O,Y 2 0, 375*2 = 0, 750 0, 75*2 = 1, 50 0, 5*2 = 1, 0 0, = 0,011 2

Формы представления чисел С фиксированной точкой (естественная форма) С плавающей точкой (нормализованный вид)

Естественная форма P -S N Р m - P -S При р=2, m=10 и S=6 0,015 N Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки и дальнейшее вычисления теряют смысл. С фиксированной точкой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной. 0,25; -10,44; +0,9781 Пример: Диапазон чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов в целой части и S разрядов в дробной (без учета знака числа) будет:

С плавающей точкой Х 10 =±М 10 *10 ±К, где М 10 – мантисса, 0,1 М 10 < 1, К-порядок, целое положительно десятичное число. Пример: = -0,1234*10 4, 0,003=0,3*10 -2 При нормализации выполняется деление числа на 4 составляющих: знак числа, мантисса, знак порядка, порядок. Для произвольной системы счисления. Х р =± М р *P ±К, Р -1 М< 1 Определение: Число Х 10 называется нормализованным, если оно представлено в виде

Сводная таблица переводов целых чисел 34

Сводная таблица переводов целых чисел