Представление чисел в ЭВМ

2 Способы представления чисел целые положительные числа (без знака) целые со знаком вещественные нормализованные числа.

3 Целые числа без знака Формат числа в байтах Диапазон Запись с порядком Обычная запись – – Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают: в однобайтовом формате значения от до , в двубайтовом формате от до Диапазоны значений целых чисел без знака

4 Целые числа со знаком Формат числа в байтахДиапазон Запись с порядкомОбычная запись – – … Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак плюс кодируется нулем, а минус единицей. Диапазоны значений целых чисел без знака

5 Пример = a) однобайтовый формат б) двубайтовый формат б) число в двубайтовом формате Номера разрядов Биты числа

6 Дополнительный код Целые числа со знаком Прямой код Обратный код Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде

7 Прямой код Прямой код числа: 1 Прямой код числа: -127 n-разрядность кода, a зн - значение знакового разряда. Знак Число Пример: если разрядность кода равна 4, то 1101 = (-1) 1 [1x2 0 +0x2 1 +1x2 2 ]= В знаковый разряд помещается цифра знака, а в разряды цифровой части числа двоичный код его абсолютной величины.

8 Обратный код Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы нулями. n-разрядность машинного слова, a зн =0 для положительных чисел, a зн =1 для отрицательных чисел = 1*( )+[0x2 0 +1x2 1 +0x2 2 ] = -7+2=-5 Пример: число: -1, модуль , обратный код число: -127, модуль , обратный код

9 Дополнительный код Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа Дополнительный код числа: -1 Дополнительный код числа: число: -1 = обратный код число: -127 = обратный код

10 алгоритм перевода отрицательных чисел в положительные I вариант. Переписать исходную последовательность битов числа справа налево до первой единицы, включая ее. Остальные биты инвертировать = = II вариант. Дополнительный код=логическое дополнение (все биты инвертированы) = = Число + его дополнительный код =0 Дополнительный код

11 Дополнительный код Представление в двоичном дополнительном коде в случае 3-битного кодирования чисел: Набор битовЗначение

12 Дополнительный код Для дополнительного кода справедливо следующее соотношение: где n-разрядность машинного слова, a зн =0 для положительных чисел, a зн =1 для отрицательных чисел. Пример: 1101 = 1*(-2 3 )+[1x2 0 +1x2 1 +0x2 2 ]=-8+3=-5

13 Операции над целыми числами Сложение. Вычитание. В большинстве случаев операция вычитания не используется, вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Умножение Целочисленное деление и нахождение остатка от деления

14 Сложение обратных кодов При сложении чисел А и В имеют место : 1.А и В положительные. 2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.

15 Сложение обратных кодов 3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. 4. А и В отрицательные.

16 Сложение обратных кодов При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Случай переполнения возможен и для обратных и для дополнительных кодов.

17 Сложение дополнительных кодов 1. А и В положительные. Нет отличий. 2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. 3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

18 Сложение дополнительных кодов 4. А и В отрицательные. на преобразование отрицательного числа в обратный код затрачивается меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код; время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

19 Формы представления чисел С фиксированной точкой С плавающей точкой

20 Преобразование чисел из естественной формы в нормализованную Число больше 1. Перемещение разделителя по числу влево до тех пор, пока не исчезнет целая часть. Нормализация влево. N N [1234,56]= *10 4 N [23,4*10 6 ]=0.234*10 7 Число меньше 1. Перемещение разделителя по числу вправо до тех пор, пока первая цифра после разделителя не станет ненулевой. Нормализация вправо. N N [0.0003]=0.3*10 -3

21 Вещественные числа Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например: 1.25*10 0 = 0.125*10 1 = *10 2 =..., или: 12.5*10 –1 = 125.0*10 –2 = *10 –3 =.... Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M * q p, где M называется мантиссой числа, а p порядком. Такой способ записи чисел называется представлением с плавающей точкой.

22 Вещественные числа Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой отлична от нуля: M из [0.1, 1). Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным. Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание в десятичной системе.

23 Примеры нормализованного представления вещественного числа Десятичная система = * = -0.34*10 -4 Двоичная система = *2 11 (порядок 11 2 = 3 10 ) = 0.11* (порядок = )

24 Формат представления вещественных чисел При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка: 1.Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. 2.Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате. ….. Знак числа Знак порядка ПорядокМантисса

25 Пример записи чисел в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка … Число = = 0, Знак числа Знак порядка ПорядокМантисса

26 Пример записи чисел в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка …..000 Знак числа Знак порядка ПорядокМантисса Число – = – = –0.1*2 –10 (отрицательный порядок записывается в дополнительном коде)

27 Характеристики форматов вещественных чисел Форматы вещественных чисел Размер в байтах Примерный диапазон абсолютных значений Количество значащих десятичных цифр Одинарный410 –45 … или 8 Вещественный610 –39 … или 12 Двойной810 –324 … или 16 Расширенный1010 –4932 … или 20 Форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.

28 Арифметические операции с вещественными числами 1. Сложение. a) Δk=|k 1 -k 2 | b) если k1>k2, то k=k 1 иначе k=k 2 с) если

29 Арифметические операции с вещественными числами 1.Сложение. Пример. Сложить двоичные нормализованные числа и Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

30 Арифметические операции с вещественными числами Пример. X1= * 10 1, X2= *10 2. Пусть под запись мантиссы отводится 5 разрядов. 1.Δk=1, k нормализуя, получим мантиссу 0,10333 (теряем 2) и порядок увеличиваем на 1. Ответ: X=0,10333*10 3 = 103,3324.

31 Арифметические операции с вещественными числами 1.Вычитание сводится к сложению с дополнительным кодом. 2.Умножение производится по правилу – мантиссы перемножаются, а порядки складываются. Если нужно, то полученное число нормализуется. Пример ( ). ( ) = ( ). 2 (101+11) = Деление производится по правилу – мантиссы делятся (делимое на делитель), а порядки вычитаются (порядок делителя из порядка делимого). Если нужно, то полученное число нормализуется : = ( : 0.101). 2 (100-11) = =

32 Если после учёбы не возникают интересующие вопросы, то зря ходил в школу. (Ишхан Геворгян)Ишхан Геворгян Л.З. Шауцукова Информатика Книга 1. Теория.