МЕТОДЫ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.

Введение Методы взвешенных невязок представляют собой численные процедуры построения приближенного решения системы дифференциальных уравнений вида: С граничными условиями: Где - точное решение - пространственные координаты - внешняя граница (1) (2)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Введение Функция аппроксимируются набором функций: Где - неизвестные параметры - линейно-независимые функции, принадлежащие к полной последовательности (3) Рассмотрим функцию ошибки (невязку): (4) При этом будем полагать, что: - набор весовых функций (5)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций Дифференциальные уравнения удовлетворяются только в некоторых выбранных точках: тогда: Выберем в качестве весовой функции дельта- функцию Дирака, тогда коллокация эквивалентна операции: (6) (7) (8)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке : с граничными условиями: Возьмем аппроксимирующую функцию в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых : (6) (7) (8) при Точное решение (проверка): В качестве точек коллокаций выберем

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод наименьших квадратов Минимизируется произведение ошибки саму на себя. Функция ошибки представляется в виде: тогда: Принимаем аппроксимирующую функцию в виде: (9) (10) (11) Минимизируем дифференцированием по :

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод наименьших квадратов Минимизируется произведение ошибки саму на себя дифференцированием по неизвестным параметрам: (12) (13) Если - линейный оператор, то: (14)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод наименьших квадратов. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке : с граничными условиями: Возьмем аппроксимацию второго порядка : при Точное решение (проверка):

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций и метод наименьших квадратов Распространим метод коллокаций на случай, когда число точек превышает число неизвестных. При этом неизвестные параметры определяются при минимизации в среднеквадратичном смысле. оценивается в точках ( ), а функция может быть записана в виде: Минимизируем (16), для -ого уравнения получим: (15) (16) (17)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке : с граничными условиями: и аппроксимирующей функцией в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых : при Точное решение (проверка): Подсчитаем невязку в трех точках:

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод моментов Для заданной системы уравнений: В качестве весовых функций можно использовать любой набор линейно независимых функций из полной последовательности, например : При этом обеспечивается обращение в нуль моментов невязки более высокого порядка: (18) (17) (19)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке : с граничными условиями: и аппроксимирующей функцией в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых : при Точное решение (проверка): Функция ошибки ортогонализируется по отношению к и :