«Слабые» Формулировки Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.

Классификация степеней непрерывности Рассмотрим функцию, заданную в области конечную во всей области, но имеющую разрывы в дискретных точках (функция с разрывами первого рода): Функции, удовлетворяющие условию (1) относятся к функциональному пространству. (1)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пространство Соболева Пространство содержит все функции, у которых, дополнительно интегрируем квадрат первой производной. Определяющим для таких функций является условие (для одномерных функций): Верхний индекс при показывает порядок старшей конечной производной, а нижний индекс относится к квадратичной оценке нормы. (2) Так пространство содержит все функции, удовлетворяющие условию: (3)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Постановка задачи Рассмотрим дифференциальное уравнение: Подчиненное граничным условиям: Предположим, что - оператор -ого порядка, а функции принадлежат пространству. Не будем разделять главные и естественные граничные условия, тогда может представлять собой комбинацию главных и естественных граничных условий на внешней границе. (4)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Постановка задачи Решение уравнения (4) есть функция из пространства, удовлетворяющая условиям: Согласно методам взвешенных невязок, решение аппроксимируется выражением: (5) (6) где удовлетворяет граничному условию: а удовлетворяют однородным граничным условиям: (7) (8)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Слабая форма При смягчении требований к непрерывности функций получим «слабое» решение. Такое решение называют обобщенным, если можно доказать его единственность. Оптимальной формой слабого решения является такая, при которой пространство базисных и весовых функций совпадает. Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение: (9) С главными граничными условиями: при И естественными граничными условиями: при Потребуем:при

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Слабая форма уравнения где: Интегрируя (10) по частям дважды, получим: (10) (11) (12) (13)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке : с граничными условиями: (14) при Рассмотрим приближение, удовлетворяющее обоим граничным условиям: Выполним естественное граничное условие лишь в осредненном смысле:

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 2 Рассмотрим уравнение Пуассона: с граничными условиями: В качестве первого приближения можно взять функцию: (15) (16) (17) при (18) В качестве второго приближения можно взять функцию:

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 3 Рассмотрим уравнение Лапласа в цилиндрических координатах, описывающее поток тепла в трубе: с граничными условиями: Здесь есть функция, определяющая температуру в любой точке. Точное решение уравнения (19) имеет вид: (19) при поверхность При поверхность (20)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 3 В качестве приближенного решения выберем функцию второго порядка, которое удовлетворяет по температуре, заданным на поверхности трубы : На поверхности задан температурный градиент: (21) Согласно методу Галеркина: