Задачи с начальными условиями Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С.

Типы уравнений Уравнение гиперболического типа (волновое): При этом на части поверхности заданы граничные условия: (1)(1) Согласно методу Галеркина: Начальные условия, необходимые для решения (1) (значения и при ): А на части поверхности заданы граничные условия вида: (2)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Типы уравнений Уравнение параболического типа (диффузии): При этом аналогично на части поверхности заданы граничные условия: (3) Согласно методу Галеркина: Начальное условие, необходимое для решения (3): А на части поверхности заданы граничные условия вида: (4)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Аппроксимация неизвестных функций Предположим, что функция тождественно удовлетворяет начальным и граничным условия на. Тогда для обоих типов уравнений функция может быть аппроксимирована произведением координатных функций на функции, зависящие от времени: При этом должны удовлетворять граничным условиям на, а неизвестные функции - начальным условиям. (5)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 1 Рассмотрим простое уравнение: Для определения воспользуемся методом Галеркина: С начальным условием: (6) Аппроксимируем решение (6) функцией: где - неизвестное значение функции в конце временного промежутка.

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример 2 Рассмотрим простое уравнение (K – коэффициент теплопроводности): Формула Галеркина принимает вид: С начальным условием: (7) Аппроксимируем решение (6) функцией: С граничным условием: Возьмем: