Определение комплексного числа

Термин мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово «комплекс» (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.

Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к теории упругости; М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике;

Комплексным числом называется число вида a+jb, где a, b некоторые действительные числа, а j мнимая единица, при чем: Примечание. Обозначение j для мнимой единицы применяется обычно в технике, а в математике мнимую единицу обозначают как i. Обозначение: (1) (1) – алгебраическая форма записи комплексного числа

Множество комплексных чисел обозначается С, N Z Q I R C

Число a называется действительной частью комплексного числа z. Обозначается a=Re z. Число b называется мнимой частью комплексного числа z. Обозначается b=Im z.

Мнимая ось Действительная ось a b M(a; b) z = a + j b

Примеры: 1) Изобразите комплексные числа

2) Запишите комплексные числа, изображенные на координатной плоскости, в алгебраической форме

3) На какой из координатных плоскостей изображено число

:Комплексное число называется сопряженным комплексному числу z :Комплексное число называется противоположны м комплексному числу z 0 z=a+jb -z a -a b -b

1. Запишите числа, сопряженные данным: 2. Какое из данных чисел является сопряженным для числа Примеры:

Степени мнимой единицы

По определению: Таким образом, можно вывести формулу для вычисления

1)Если показатель степени m при j делится на 4 без остатка, то 2)Если при делении показателя степени m при j на 4 получается остаток 1, то 3)Если при делении показателя степени m при j на 4 получается остаток 2, то 4)Если при делении показателя m при j на 4 получается остаток 3, то

Примеры: Вычислите: 1)Если показатель степени m при j делится на 4 без остатка, то 2)Если при делении показателя степени m при j на 4 получается остаток 1, то 3)Если при делении показателя степени m при j на 4 получается остаток 2, то 4)Если при делении показателя m при j на 4 получается остаток 3, то

Модуль комплексного числа

: Модулем комплексного числа называется действительное число Обозначение: Примеры: Найти модуль комплексных чисел:

Аргумент комплексного числа

: Угол α, между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа Обозначение: 0 a b M r=|z| α

Частные случаи

Примеры: 0 π