«Перпендикулярные прямые в пространстве» «Перпендикулярность прямой и плоскости» Тема урока:

Модель куба. D1D1 В А1А1 А D С1С1 С В1В1 1.Как называются прямые АВ и ВС? 2.Найдите угол между прямыми АА 1 и DC; ВВ 1 и АD. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут скрещиваться.

Рассмотрим прямые АА 1, СС 1 и DC. D1D1 В А1А1 А D С1С1 С В1В1 АА1|| СС 1 ; DC СС 1 АА 1 DC Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой Дано: а b и а с. Доказать: b c. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с, то АМС =90° Т.к. а b, а МА, то b МА. Итак, b МА, с МС, Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а с, то АМС =90° Т.к. а b, а МА, то b МА. Итак, b МА, с МС, АМС = 90°, т. е. b c. Лемма доказана. АМС = 90°, т. е. b c. Лемма доказана.

Найдите угол между прямой АА 1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, АD, АС, ВD, МN. D1D1 В А1А1 А D С1С1 С В1В1 N М 90 0 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: прямая а параллельна прямой а 1 и перпендикулярна плоскости α. Доказать: а 1 α а а1а1 х

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а а 1, а α. Доказать: а 1 α Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а перпендикулярна α, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а 1 перпендикулярна α. Теорема доказана.

аb b1b1 Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. M c

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: aα, bα (а) Доказать : a b.Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b 1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b 1 α. Докажем,что прямая b 1 совпадает с прямой b.Тем самым будет доказано,что a b.Допустим,что прямые b и b 1 не совпадают. Тогда в плоскости β,содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, ab. Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. а р q O m l А B Q Р L