Теория систем счисления

Число Под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись Число: 10 – X – «десять» – «ten» Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Под системой счисления принято называть совокупность приемов обозначения (записи) чисел.

Непозиционные система счисления системы счисления, в которых для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых («вес» символа) всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. В римской системе счисления для записи числа в качестве цифр используются буквы латинского алфавита. I – 1V – 5X – 10 L – 50C – 100D – 500M – 1000 Для записи чисел в римской системе используются два правила: 1) каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него; 2) каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему. III = 1+1+1=3IV = -1+5 = 4VI = 5+1 =6XL = –10+50 =40 LX = = 60XC = – = 90CIX =100–1+10 = 109 MCMXCVIII = 1000– =1998

Позиционной системой счисления называется система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения в ряду других цифр, изображающих число. Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется разрядом. :. Базис системы счисления это последовательность ключевых чисел, каждое из которых задает значение цифры в ее позиции или «вес» каждого разряда каждые десять единиц образуют один десяток, десять десятков образуют одну сотню, десять сотен образуют одну тысячу и т.д. 10 – основание 10-чной с.с. Позиционный принцип в системах счисления

Выбирая за основание системы счисления любое натуральное число k, то есть, считая, что k единиц любого разряда образует одну единицу соседнего более крупного разряда, придем к так называемой k-ной системе счисления. Если k10, то для чисел от 10 до k-1 включительно надо придумать специальные значения цифр.

Позиционный принцип в системах счисления Для 16-ричной системы счисления: 10 10A B C D E F 16

Позиционный принцип в системах счисления Базис двоичной системы счисления: 1, 2, 4, 8, 16,..., 2 n,... Базис восьмеричной системы счисления: 1, 8, 64, 512,..., 8 n,... Или в общем виде: q 0 =1, q 1 =q, q 2 =q 2, q 3 =q 3,..., q n =q n,..., где q N и q 1. Число q называют основанием системы счисления.

Два способа записи числа Каждое число в любой позиционной системе может быть записано в цифровой и многочленной форме: Цифровая форма: A q =(a n a n-1 a n-2...a 2 a 1 a 0 ) q, где a i – цифра в диапазоне от 0 до q-1. Многочленная форма: A q =a n q n +a n-1 q n-1 +a n-2 q n a 2 q 2 +a 1 q 1 +a 0, где q – базис системы счисления.

Перевод целых чисел. Алгоритм 1 Для того чтобы исходное цело число A q, в системе счисления с основанием q, заменить равным ему целым числом B p, в системе счисления с основанием p, необходимо число A q разделить нацело по правилам q-арифметики на новое основание p. Полученный результат вновь разделить нацело на основание p и т.д. до тех пор, пока частное не превратится в ноль. Цифрами искомого числа B p являются остатки от деления, выписанные так, чтобы последний остаток являлся бы цифрой старшего разряда числа B p. Число p перед делением должно быть записано в системе с основанием q. Так как нам известна только десятичная арифметика, то этот алгоритм будет удобен при переводе чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

Пример перевода десятичного числа в двоичную систему счисления =

Перевод целых чисел. Алгоритм 1 Переведем = = =

Перевод целых чисел. Алгоритм 1 При переводе числе из десятичной системы счисления в систему счисления, основание которой больше десяти, нужно очень внимательно отнестись к записи цифр, чей «вес» больше или равен десяти. один остаток – 1 цифра ! > Остатками здесь служат числа от 0 до 15. Это цифры шестнадцатеричной системы счисления. По таблице определяем, что 14 - это цифра Е =23E 16

Другой способ перевода из 10-чной с.с. в 2-чную с.с. Алгоритм 1А. разложение исходного числа на сумму степеней двойки: в искомом двоичном числе единицы будут стоять в позициях тех разрядов, степени двойки которых присутствуют в разложении.

Другой способ перевода из 10-чной с.с. в k-ую с.с. Алгоритм 1А. разложение исходного числа на сумму степеней основания k

Перевод целых чисел. Алгоритм 2 Для того чтобы исходное целое число A q заменить равным ему целым числом B p, достаточно цифру старшего разряда числа A q умножить по правилам p-арифметики на старое основание q. К полученному произведению прибавить цифру следующего разряда числа A q. Полученную сумму вновь умножить на q по правилам p-арифметики, вновь к полученному произведению прибавить цифру следующего (более младшего) разряда. Так поступают до тех пор, пока не будет прибавлена младшая цифра числа A q. Полученное число и будет искомым числом B p. Для перевода из какой системы счисления в какую можно использовать данный алгоритм?

Перевод целых чисел. Алгоритм = (4×16+3)×16+9 = = (((((1×2+0)×2+1)×2+1)× ×2+1)×2+0)×2+1 = = (6×8+4)×8+5 =

Другой способ перевода целых чисел из q-й с.с. в 10-чную. Алгоритм 2А. 1. Над цифрами числа в q-й с.с. расставляются степени основания справа налево, начиная от 0 2. Число в 10-чной с.с. получается суммированием произведений цифр числа на проставленные степени основания q.

Домашнее задание 1. Выучить теорию, определения и алгоритмы 2. Выучить степени числа 2 от 0 до Заполнить таблицу В

Домашнее задание 4. Заполнить таблицу