Решение логарифмических неравенств методом рационализации Автор: ученица 10 «А» класса МАОУ «Ярковская СОШ» Шанских Дарья Руководитель: учитель математики МАОУ «Ярковская СОШ» Ганихина А.В. Ярково 2013 г. Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение «Ярковская средняя общеобразовательная школа»

Цели: 1) Овладеть данным приемом решения 2) Отработать навыки решения на заданиях С3 из тренировочных и диагностических работ 2013 г. Задачей проекта является изучение теоретического обоснования метода рационализации. Актуальность работы заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать логарифмические неравенства части С3 ЕГЭ по математике

Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства вида: При а > 0, а 1 являются логарифмическим

Решение простейших логарифмических неравенств: a > 1 x 1 > x 2 > 0 a > 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 2 > x 1 > 0 0 < a < 1 x 1 > x 2 > 0

Решение логарифмических неравенств с применением доказанного свойства Аналогично неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) < 0 на ОДЗ Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ

Доказать, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1) Доказательство. 1) Перейдём к основанию, например, 2 2) Неравенство log а b > 0 перепишем в виде 3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель одинаковых знаков, тогда одинаковых знаков. Докажем, например, что log а b > 0 и (b – 1)(а – 1) > 0 а) Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда

б) Доказано, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1) одинаковых знаков. Это свойство используется при решении логарифмических неравенств, где выражение log а b можно заменить выражением (b – 1)(а – 1) того же знака Чтобы не возникало проблем, необходимо находить ОДЗ переменной, так как формальная замена приводит к расширению области определения неравенства

Доказать, что при всех допустимых значениях переменной х неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0. Доказательство.1) Перейдём к основанию, например, 2 2) Неравенство log h f (х) > log h g(х) перепишем в виде 3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель одинаковых знаков, тогда

а) Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда б) Доказано - неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ

Считаю, что задачи, которые поставила перед собой при выполнении работы, достигнуты. Проект имеет практическое значение, так как предложенный в работе метод позволяет значительно упростить решение логарифмических неравенств. В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок «по невнимательности». Теперь при решении задач С3 я использую данный метод. Заключение