ДЕЙСТВИЯ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ Работу выполнила Попова Вера Николаевна, учитель математики МОУ «ПСОШ» 2

План занятия кружка Рассмотреть в более общем виде сложение,вычитание и умножение многочленов Рассмотреть деление многочленов Рассмотреть теорему Безу и следствия из теоремы, в которых рассматривается деление многочлена на многочлен. Решить примеры и задачи, в которых выполняется деление многочлена на многочлен.

Многочлен Одним из разделов алгебры является изучение многочленов. Многочленом называется сумма нескольких одночленов или выражение вида a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + …….+ a n – 2 x 2 + a n – 1 x + a n.

Сложение, вычитание и умножение многочленов. Сумма, разность и произведение двух многочленов также являются многочленами. В самом деле, если P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + …..+ a n, Q(x) = b 0 x m + b 1 x m – 1 + …..+ b m - два многочлена, то выражения P(x) + Q(x) = (a 0 x n + a 1 x n – 1 + …..+ a n ) + (b 0 x m + b 1 x m – 1 + …..+ b m ), P(x) – Q(x) =( a 0 x n + a 1 x n – 1 + …..+ a n ) – (b 0 x m + b 1 x m – 1 + …..+ b m ), P(x) Q(x) =( a 0 x n + a 1 x n – 1 + …..+ a n ) (b 0 x m + b 1 x m – 1 + …..+ b m )

Деление многочленов Рассмотрим деление многочленов. Пусть даны три целых относительно x многочлена M(x), D(x) и Q(x), и пусть для них имеет место следующее равенство: M(x) = D(x) × Q(x).

Деление многочленов Равенство M(x) = D(x) × Q(x) мы будем считать тождественным, т.е. таким, которое справедливо для всех значений x. В тех точках, в которых многочлен D(x) отличен от нуля, мы будем иметь

Деление уголком. M(x) = 2x x 3 + 6x 2 – 21x – 2 x 2 + 3x – 4 = D(x) 2x 4 + 6x 3 – 8x 2 2x 2 + 5x – 1 = Q(x) 5x x 2 – 21x 5x x 2 – 20x X 2 – x – 2 X 2 – 3x + 4 2x – 6 = R(x). Делимое равно произведению частного на делитель, сложенному с остатком или 2x x 3 + 6x 2 – 21x – 2=( x 2 + 3x – 4x)( 2x 2 + 5x – 1)+ 2x – 6. M(x)= D(x) × Q(x) + R(x).

Теорема Безу Остаток R от деления многочлена M(x) на двучлен x – a равен тому значению многочлена M(x), которое получится если в нем всюду вместо х подставить число а, т. е. R= M(a).

Применение теоремы Безу на практике. 1.Решить уравнение x 3 –4x 2 –27x+90= Имеет ли уравнение x 4 – x 3 + x + 2 = 0 целые корни?