Числовой функцией называется соответствие (зависимость), при котором каждому значению одной переменной сопоставляется по некоторому правилу единственное значение другой переменной. Обозначают латинскими (иногда греческими) буквами : f, q, h, y, p и т.д.

Независимая переменная – аргумент Зависимая переменная – значение функции y = f(x), y = g(x)

График функции Графиком функции называется множество точек (х; у) координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. х у

Историческая справка Термин «функция» впервые появился в 1692 году у Лейбница и употреблялся в узком смысле (различные отрезки, связанные с кривой например, абсциссы ее точек). Современное понятие функции как выражения зависимости одних переменных величин от других сформировалось в первой половине 19 века благодаря исследованиям таких крупных математиков, как Лобачевский, Дирихле, Фурье. Тогда же были даны четкие определения производной, непрерывности, интеграла, а также вошли в употребление термины «элементарная» и «высшая» математика. Одним из важнейших достижений в области математического анализа в 19 веке стало рождение теории аналитических функций (Огюстен Коши) и функций комплексного переменного.

Способы задания функций - Аналитический (с помощью формулы) - Графический - Табличный - Описательный (словесное описание) Сила равна скорости изменения импульса х у30-7

Область определения Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная. Обозначается : D (f). СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Область значений Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная. Обозначается : E (f) СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Нулем функции y = f (x) называется такое значение аргумента x 0, при котором функция обращается в нуль: f (x 0 ) = 0. Нули функции - абсциссы точек пересечения с Ох. Нули функции x 1,x 2 - нули функции СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Четность Четная функция Нечетная функция Функция y = f(x) называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x).График четной функция симметричен относительно оси ординат. Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Промежутки знакопостоянства Промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. y > 0 (график расположен выше оси ОХ) при х (- ; 1) U (3; +), y

Непрерывность Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка. Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве X Є D(f), если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f(x 1 ) < f(x 2 ). СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве X Є D(f), если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 f(x 2 ). СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Функция называется ограниченной снизу на множестве X Є D(f), если существует такое число m, что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) > m. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Функция называется ограниченной сверху на множестве X Є D(f), если существует такое число m, что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) < m. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

2) y = 0 при x = 0 3) y > 0 при x > 0 y > 0 при x < 0 4) y наим = 0 y наиб не существует 5) убывает на луче (-, 0] возрастает на луче [ 0, + ) 1) D(y) = R 1) E(y) = [0; )

Если в точке (0;0,25) поместить источник света, то лучи, отражаются от параболы параллельно оси Y. Эту точку называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобильных фарах. Замечательное свойство параболы

Геометрические свойства параболы обладает симметрией симметрией Ось разрезает параболу на две части ветви параболы ветви параболы в точке (0;0) смыкаются ветви, точка О - вершина параболы точка О - вершина параболы парабола касается оси абсцисс касается

Слово «парабола» греческое, в переводе –«сравнение». Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы, примерно в 4 в до н.э. Термин «парабола» ввел Апполоний Пергский из г. Пергам (Малая Азия), живший в III веке до н.э. Он показал, что парабола получается, если взять кривой конус и пересечь его плоскостью. Историческая справка.

D(у)=R; E(у)=[о;); О(0;0) – вершина параболы; Х=0 – ось симметрии О у х x y

D(у)=R; E(у)=(-;0]; О(0;0) – вершина параболы; х=0 – ось симметрии x y

x y

A(0;3) – вершина параболы; А О у D(у)=R; E(у)=[3;); х=0 – ось симметрии x y

D(у)=R; E(у)=(-; -3]; В(0;-3) – вершина параболы; х=0 – ось симметрии x y

Графиком функции у = а (х - т) 2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах 2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если т>0, или на –т единиц влево, если т

D(у)=R; E(у)=[0;); М( 5;0) – вершина параболы; х=5 – ось симметрии x y

y x D(у)=R; E(у)=(-;0]; М(-5;0)- вершина параболы; Х=-5 – ось симметрии

Графиком функции у = а (х - т) 2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах 2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если т>0, или на – т единиц влево, если т 0, или на – n единиц вниз, если n

D(у)=R; E(у)=(-;4]; М(-2;4)- вершина параболы; х=-2 – ось симметрии x y

D(у)=R;D(у)=R; E(у)=[-4;+); М(-3; -4)- вершина параболы; х=-3 – ось симметрии x y

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у =ах 2 + вх + с, где х - независимая переменная, а, в, и с -некоторые числа, причем а 0. Графиком функции является парабола

Графиком функции у=ах 2 +вх+с является парабола, вершинакоторой есть точка (т; n), где

Осью симметрии параболы служит прямая х = т, параллельная оси у. При а>0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 – вниз

x y

x y

Алгоритм построения графика функции у = ах 2 + bх +с. 1. Определить направление ветвей параболы. 2. Найти координаты вершины параболы (т; п). 3. Провести ось симметрии. 4. Определить точки пересечения графика функции с осью О х, т.е. найти нули функции. 5. Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы.

D(y)=R; E(y)=[3; ); X=3 – ось симметрии; (3;3) – координаты вершины параболы; Функция возрастает при х [3; +); Функция убывает при х (-;3]; Функция ограничена снизу; у наим =3 на отрезке [2;5]; у наиб =7 на отрезке [2;5] x y