График какой функции описывает колебание струны? Как появилась музыкальная гармония? Какая взаимосвязь между музыкальными рядами и физикой колебания струны? Можно ли проверить музыкальную гармонию геометрией?

С помощью опыта, изображенного на рис. 1, можно выяснить, но какому закону меняется с течением времени координата колеблющегося пружинного маятника и как выглядит график этой зависимости. В данном опыте в качестве груза берут какой-нибудь небольшой массивный сосуд с маленьким отверстием снизу (например, воронку), а под него кладут длинную бумажную ленту. Сосуд с предварительно насыпанным в него песком приводят в колебательное движение. Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка из песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней. На рис. 2 показан вид полученной кривой. Она называется синусоидой (аналогичные графики имеют функции типа у = sin x и y = cos x) Рис. 1 Рис. 2

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… А как следует выбирать музыкальные тоны внутри одной октавы, чтобы они тоже звучали согласно? Ответ на этот вопрос дали пифагорейцы, построив музыкальную гамму – согласную последовательность тонов внутри октавы, т.е. указав закон, по которому следует выбирать длины струн для извлечения этих тонов. Пифагорова гамма ( наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужила музыкантам более двух тысяч лет – до XVI века. Затем получила распространение так называемая диатоническая гамма, которая была построена на частотах, которые относятся как 2:3:5.

Возьмем струну с длиной L с частотой основного тона v 1. Соответствующий этой ноте тон в следующей октаве имеет частоту 2v 1 – его можно извлечь из вдвое более короткой струны. Частотный интервал от v 1 до 2v 1, соответствующий одной октаве, мы и будем делить. Поэтому можно ожидать, что звук с частотой 3/2 v 1, извлекаемый из струны длиной 2/3L 1, также окажется согласным основному тону v 1. Так в пифагоровой гамме появляется звук, называемый квинтой, частота которого в полтора раза больше частоты основного тона.

Однако мы уже знаем, что удвоение, т. е. увеличением на октаву, этот звук можно перевести в рассматриваемый промежуток и получить частоту 4/3v 1. Такой звук называют квартой. Между собой частоты квинты и кварты относятся как 3/2v 1 = 9/8 = 1,125. 4/3v 1 Это отношение и было выбрано пифагорейцами в качестве основного шага – ступени гаммы. Теперь можно воспроизвести весь пифагоров строй. Основной тон – прима – имеет частоту v 1. Следующий – секунда – частоту v 2 = 1,125 v 1. Ещё на один шаг отличается терция: v 3 = 1,125 v 2 = 1,125*1,125v 1 = 1,2656 v 1. По этому плану и происходит построение музыкальной гаммы.

Разработан принципиально новый, «геометрический» подход к изучению музыкальных произведений. Историю развития музыки на протяжении многих веков теперь можно представить как процесс изучения различных типов симметрий и геометрических форм.

Специалисты в области теории музыки Клифтон Каллендер (Clifton Callender) из университета Флориды, Ян Куинн (Ian Quinn) из Йельского университета и Дмитрий Тиможко (Dmitri Tymoczko) из университета Принстона разработали новый метод анализа и классификации музыки. Свою работу "Generalized Voice-Leading Spaces" исследователи опубликовали в журнале Science. Новый метод анализа музыкальных произведений получил название «геометрическая теория музыки». С его помощью основные музыкальные структуры и преобразования переводятся на язык современной геометрии.

Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава – числу 12). Аккорд, таким образом, представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств.

В результате проделанной нами работы мы пришли к поразительному выводу – музыка это одно из самых разносторонних видов творчества на нашей планете, т.к. её можно рассматривать с различных сторон, объясняя те или иные её аспекты с точки зрения математики и физики и соединяя все факты, полученные в результате наблюдений и вычислений, в целую систему, называемой музыкальной гармонией.