Исходя из определения арифметической прогрессии: a 2 =a 1 +d, a 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 +2d, a 4 =a 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 +3d, a 5 =a 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 +4d. Точно так же находим, что a 6 = a 1 +5d, и вообще, чтобы найти a n, нужно к a 1 прибавить (n-1)d, т.е. a n =a 1 +(n-1)d. Получили формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры решения задач с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии 1. Последовательность (a n ) - арифметическая прогрессия, в которой a n =0,62 и d=0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии. Решение: a 50 =0,62+0,24 ·(50-1)=12,38. Ответ: 12,38.

2. Выяснить, является ли число -122 членом арифметической прогрессии (a n ) 23; 17,2; 11,4; 5,6;…. Решение: В данной арифметической прогрессии a 1 =23 и d=a 2 -a 1 =17,2-23=-5,8. Запишем формулу n-го члена прогрессии: a n =23-5,8(n-1), т.е. a n =28,8-5,8n.

Число -122 является членом арифметической прогрессии (a n ), если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8-5,8n равно Решим уравнение 28,8-5,8n=-122: 5,8n=150,8, n=26. Ответ: число -122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии a n =a 1 +(n-1)d можно записать иначе: a n =dn+(a 1 -d). Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность (a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.