Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Цели: Образовательная: сформулировать понятие арифметической прогрессии, вывести формулу разности, рассмотреть примеры, формулу n-го члена; Развивающая: развитие следующих навыков: умение вычислять члены арифметической прогрессии, находить разность, определять является ли членом прогрессии числа, умения делать выводы, обобщать и конкретизировать, логического мышления, памяти; Воспитательная: воспитание трудолюбия и общения, аккуратности, повысить интерес к изучаемому материалу, развитие кругозора.

Этапы урока: Актуализация знаний Введение нового материала Закрепление нового материала Самостоятельная работа Подведение итогов урока

Актуализация знаний Вспомним определение последовательности! Последовательностью называется функция натурального аргумента, то есть функция, областью определения которой является множество N всех натуральных чисел. Функция, заданная на множестве, состоящем из нескольких первых натуральных чисел, называется конечной последовательностью. Выполните следующие задания: 1 задание 2 задание 3 задание

Изучение нового материала

В жизни часто бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же их значение. Когда поезд едет со скоростью 80 км/ч, он за каждый час увеличивает пройденный путь на одно и то же количество километров. Верблюд, идущий по пустыне, ежедневно уменьшает свои запасы воды в горбах на одну и ту же величину. Человек с каждым годом жизни увеличивает свой возраст на одно и то же время. А так же, уменьшает за каждый прожитый год на одну и ту же величину время, которое ему суждено прожить на этом свете. И даже толстяк, безуспешно применяющий модные диеты, каждые сутки изменяет свой вес на одну и ту же величину - на нуль килограммов. Всё это - примеры числовых последовательностей - примеры арифметической прогрессии.

Определение Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

То есть, последовательность (a n ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального выполняется условие a n+1 = a n +d, где d - некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна, т.е. при любом натуральном верно равенство a n+1 – a n = d. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно узнать ее первый член и разность.

Рассмотрим примеры 1. Если a 1 =1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; 5;…, члены которой – последовательные натуральным числа. 2. Если a 1 =1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7; 9;…, которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

3. Если a 1 =-2 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию -2; -4; -6; -8; -10;…, которая является последовательностью отрицательных четных чисел. 4. Если a 1 =7 и d=0, то имеем арифметическую прогрессию 7; 7; 7; 7; 7;…, все члены которой равны между собой.

На заметку! Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии a 2 =a 1 +d, a 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 +2d, a 4 =a 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 +3d, a 5 =a 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 +4d. Точно так же находим, что a 6 = a 1 +5d, и вообще, чтобы найти a n, нужно к a 1 прибавить (n-1)d, т.е. a n =a 1 +(n-1)d. Получили формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры решения задач с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии 1. Последовательность (a n ) - арифметическая прогрессия, в которой a n =0,62 и d=0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии. Решение: a 50 =0,62+0,24 ·(50-1)=12,38. Ответ: 12,38.

2. Выяснить, является ли число -122 членом арифметической прогрессии (a n ) 23; 17,2; 11,4; 5,6;…. Решение: В данной арифметической прогрессии a 1 =23 и d=a 2 -a 1 =17,2-23=-5,8. Запишем формулу n-го члена прогрессии: a n =23-5,8(n-1), т.е. a n =28,8-5,8n.

Число -122 является членом арифметической прогрессии (a n ), если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8-5,8n равно Решим уравнение 28,8-5,8n=-122: 5,8n=150,8, n=26. Ответ: число -122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии a n =a 1 +(n-1)d можно записать иначе: a n =dn+(a 1 -d). Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность (a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Решение типичных задач Решение типичных задач

Откуда появилось понятие арифметической прогрессии

Первые представления об арифметической прогрессии были ещё у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Самая древнейшая задача на прогрессии о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда.

папирус Ринда

Историческая задача

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение. Количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: Доля первого - x, Доля второго - x+y, Доля третьего - x+2y, Доля четвертого - x+3y, Доля пятого - x+4y.

На основании условия задачи, составляем следующие 2 уравнения: x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)=100 7(x+(x+y))=(x+2y)+(x+3y)+(x+4y) После упрощения первое уравнение получит вид: x+2y=20, а второе 11x=2y. Решив эту систему, имеем: x=1 и y=9. Ответ: Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части: 1 ; 10 ; 20; 29 ; 38.

Самостоятельная работа Изучив материал урока «Арифметическая прогрессия», проверьте свои знания, ответив на вопросы итогового тестирования. тест