Основы математической логики Выполнили: Семенчук В.А. Оргин В.Н.

Содержание Основы математической логики: История развития математической логики Алгебра высказываний: Определение Отрицание Конъюнкция Дизъюнкция Эквивалентность Импликация Логические элементы (приложение)Логические элементы Выход

развития История развития математической логики С момента зарождения теоретической науки в 6-5 вв. до н.э. (особенно в Древней Греции) были подвергнуты исследованию методы рассуждений, применяемые для убедительного обоснования утверждений. Так начала складываться наука логика. Установившиеся в Греции демократические формы жизни потребовали развития искусства убеждения - ораторского искусства, риторики. Появились учителя риторики - софисты, учившие не только доказывать истинные утверждения, но и искусно их опровергать. Понятия истины, лжи и противоречия, а также причины истинности или ложности заключений, полученных из истинных посылок, надолго стали предметом изучения в логике. Первые значительные попытки превращения логики в математическую науку сделал великий немецкий учёный и политический деятель Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ). Однако решающего успеха в этом направлении добился в 1847 году английский математик Джордж Буль ( ), построив алгебру логики, названную в его честь булевой. Аристотель ( до н.э.)

Основными разделами современной математической логики (её классического варианта) являются логика высказываний, идущая от Дж. Буля и не охватывающая силлогистику Аристотеля, и значительно более широкая логика предикатов, содержащая силлогистику как часть. Современный вид математическая логика приобрела в е годы в трудах немецкого логика, математика и философа Готлоба Фреге ( ). Он дал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов и сделал попытку свести математику к логике. Первые значительные попытки превращения логики в математическую науку сделал великий немецкий учёный и политический деятель Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ). Однако решающего успеха в этом направлении добился в 1847 году английский математик Джордж Буль ( ), построив алгебру логики, названную в его честь булевой. Г.В. Лейбниц ( ) Джордж Буль ( ) Г. Фреге ( )

Высказыванием называется повествовательное предложение, которое является или может оказаться либо истинным, либо ложным. Причём оно не может быть истинным и ложным одновременно. Говорят, что истинное высказывание имеет логическое значение "истина", а ложное - "ложь". В математике логические значения "истина" и "ложь" обозначают обычно буквами И и Л, соответственно. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Истина На земном шаре три магнитных полюса. Ложь Алгебра высказываний или булева алгебра рассматривает способ образования одних высказываний из других, более простых, с помощью так называемых логических операций.

Опер ация Название операции Краткое прочтение полученного высказывания Полное прочтение полученного высказывания ¬A¬Aотрицаниене А.неверно, что А. A B конъюнкцияA и B.верно, что A, и верно, что B. A B дизъюнкцияA или B.верно, что A, или верно, что B. A B эквивалентность A тогда и только тогда, когда B. A эквивалентно B. верно, что A, тогда и только тогда, когда верно, что B. A B импликация A называется условием, а B - следствием если A, то B. A влечёт Пусть А и В обозначают некоторые произвольные высказывания. Обычно в логике рассматривают следующие логические операции над этими высказываниями :

Следующие таблицы определяют, какие значения принимают высказывания, полученные с помощью этих операций, если исходные высказывания A и B принимают значения И или Л. Такая таблица называется истинностной: А ¬А ИЛ ЛИ Отрицание

Конъюнкция АВ А В ИИИ ИЛЛ ЛИЛ ЛЛЛ

Дизъюнкция АВАVВ ИИИ ИЛИ ЛИИ ЛЛЛ

Эквивалентность АВ А В ИИИ ИЛЛ ЛИЛ ЛЛИ

Импликация АВ А В ИИИ ИЛЛ ЛИИ ЛЛЛ

Семенчук Виктория Анатольевна Учитель информатики СШ 2 с. Камень-Рыболов Ханкайского района

Оргин Владимир Николаевич Учитель информатики СШ с. Малиново Дальнереченского района

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОНЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ ОТРИЦАНИЕ ТРИГГЕР РЕГИСТР СУММАТОР ВЫХОД

КОНЪЮНКЦИЯ логическая связка «и» X У Z X У Z & & МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ Z=( Х /\ У )

ДИЗЪЮНКЦИЯ логическая связка «или» Х У Z Х У Z 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ Z=( Х \/ У )

ОТРИЦАНИЕ логическая связка «не» Х Z Х Z 1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ Х= ¬ Z

АСИНХРОННЫЙ RS-ТРИГГЕР Вход R - это вход установки триггера в состояние логического 0, вход S -это вход установки триггера в состояние логической 1. Асинхронным - называется такой триггер, который меняет свое состояние в момент подачи входного сигнала на входы S и R. Активным сигналом для этой схемы является логическая 1. R S Q Q 1 1 SRQ t+1 Примеч. 00QtХранен. 010Устан Устан Запрет

РЕГИСТРЫ Регистры - это устройства предназначенные для хранения информации, а также выполнение над ними некоторых логических преобразований. Регистры выполняются на триггерах, число которых соответствует числу разрядов в регистре.

СЧЕТЧИКИ Это устройства предназначенные для подсчета числа сигналов, поступающих на его вход и фиксация этого числа в виде кода хранящегося в триггерах.