История возникновения понятия вектор Понятие вектор возникло в связи с изучением величин, характеризуемых численным значением и направленностью (например, перемещение, скорость и ускорение движущейся материальной точки, действующая на неё сила и т.п.).

Понятие вектора Пусть на тело действует сила в 8Н. Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы. 8Н

Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой приложения); 2) направлением; 3) длиной («модулем вектора»).

Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой АВ А В Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец. D C EF K L

Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: b Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: c a М ММ=0

Длиной (абсолютной величиной) или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: АВ = а = АВ = 5 с a В А с = 17 Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. М

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

аb c d m n s L

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он сонаправлен с любым вектором. a 0 a P

Равенство векторов 1 Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b, если а b а = b аc b d n f m s

2 Определение Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. АВСD параллелограмм, AB=DС B C AD

Противоположные векторы Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA a B А b Пусть а – произвольный ненулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. c - c Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

Откладывание вектора от данной точки Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой а А М а

Сумма двух векторов Законы сложения векторов I. a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ). II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон ). III. a + 0 = a. IV. a + (– a ) = 0.

Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK. D B K

Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b a a b b B A C

Правило параллелограмма Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD= b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a a a a b b b DC AB

Сумма нескольких векторов Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f k+n+m+r+p = 0 d c e fs a b O k m n r p

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. а b -b а a - b

а b a b M -b

Умножение вектора на число Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а, причем векторы а и b сонаправлены при k 0 и противоположно направлены при k < 0. а 3а -2a

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует также, произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Умножение вектора на число Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства: 1. (kn) а = k ( na ) (сочетательный закон) 2. (k + n) а = kа + na (первый распределительный закон) 3. k ( а + b ) = kа + kb (второй распределительный закон)

y x a axax ayay b byby bxbx ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРОВ