1

2 Определение производной функции в точке Непрерывность дифференцируемой функции Дифференциал функции Геометрический смысл производной и дифференциала Физические приложения производной и дифференциала

3 Определение производной функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует (конечный) предел отношения то f(x) называется дифференцируемой точке х 0, а сам предел называется производной функции f(x) в точке х 0 и обозначается f '(x 0 ), то есть Обозначим x = x – x 0 – приращение аргумента при переходе из точки х 0 в точку х, а y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) – соответствующее приращение функции. Тогда производная функции f(x) в точке х 0 предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

4 Пример 1. Приведем примеры вычисления производных некоторых простейших элементарных функций, исходя из определения производной. y = a x (0 < a 1), x R. Возьмем х 0 R и найдем приращение функции в этой точке: Так как х 0 – произвольная точка из области определения функции, то Пример 2. y = log a x (0 0. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х |< х 0, можем записать: Так как х 0 > 0 – произвольная точка, то

5 Пример 3. Возьмем х 0 > 0.Считая, что | х |< х 0, можем записать: Так как х 0 > 0 – произвольная точка, то Пример 4. y = sinx, x R. Возьмем х 0 R и вычислим приращение функции в этой точке: Итак (sinx) = cosx, x R.

6 ТЕОРЕМА. Если функция f(x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть существует Тогда Отсюда получим, что f (x) – f (x 0 ) = f '(x 0 ) (х – х 0 ) + (х – х 0 )α(x) при х х 0. То есть f(x) непрерывна в точке x 0. Непрерывность дифференцируемой функции (1)

7 ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования в этой точке производной. Пример 5. f (x) = х. Исследуем поведение f (x) в окрестности х 0 = 0. Здесь и f (x) f (0) = 0 при x 0. Т.е. функция непрерывна в точке х 0 = 0. Рассмотрим x y 0 Предел не существует, так как Итак, функция f (x) = х не имеет производной в точке х = 0, хотя непрерывна в этой точке

8 Пример x y 0 при х 0. при х 0. Т.е. f(x) непрерывна в точке х = 0. Т.е. f(x) не имеет производной в точке х = 0 и, следовательно, не дифференцируема в этой точке. Исследуем поведение f (x) в окрестности точки х = 0.

9 Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х 0. Тогда, согласно (1), ее приращение в точке х 0 можно записать в виде y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) = f (x 0 ) х + о( x) при х. Дифференциал функции f (x 0 ) x – главная линейная относительно x часть приращения функции у = f(x) в точке х 0 называется дифференциалом функции в точке х 0 при приращении x и обозначается df(х 0 ; x) или df(х 0 ) или df или dу. y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) = df(х 0 ; x) + о( x) при х. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная часть приращения, линейная относительно х. Бесконечно малая более высокого порядка, чем х. Теперь приращение функции можно записать так:

10 ЗАМЕЧАНИЕ. Приращение х часто обозначают символом dх и называют дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции в точке x 0 можно записать в виде df(х 0 ) = f '(x 0 ) dх. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал dy – функция от х и dx: dy = f '(x) dx. Отсюда, в частности, получается выражение для производной То есть производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

11 Геометрический смысл производной и дифференциала Пусть функция у = f(x) определена в U(x 0 ) и дифференцируема в точке х 0. М0М0 М x0x0 x 0 + x y x y = f(x) y0y0 y 0 + у 0 L – секущая L 0 – касательная x y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) при х в силу непрерывности функции. Касательной к графику функции у = f(x) в точке М 0 называется предельное положение секущей L при х. y Если функция дифференцируема в точке х 0, то в уравнении секущей у/ х f (x 0 ) при х и уравнение касательной имеет вид у = у 0 + f (x 0 ) (х – х 0 ).

12 М0М0 М x0x0 x 0 + x dy = df(х 0 ; x) = f (x 0 ) x x y = f(x) f(x0)f(x0) f(x 0 + x ) 0 x y F E EM = o( x ) при x 0 L0L0 tg = f (x 0 ) Если же у/ х при х, то прямая х = х 0, получающаяся из уравнения секущей, называется вертикальной касательной к графику функции в точке М 0. Из уравнения касательной получим у – у 0 = f (x 0 ) (х – х 0 ) = df(х 0 ) – приращение ординаты касательной при переходе из точки х 0 в точку х. Нормалью к графику функции в точке М 0 называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку М 0. Ее уравнение имеет вид у = у 0 – 1/f (x 0 ) (х – х 0 ). L 1 – нормаль

13 Физические приложения производной и дифференциала Если S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t, то S '(t) – мгновенная скорость материальной точки, а dS = S '(t)dt – расстояние, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени от t до t + dt, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости в момент t. Если Q(t) – количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то Q '(t) = I – сила тока. Если N(t) – количество вещества, образующегося в момент t в ходе химической реакции, то N '(t) – скорость химической реакции.

14 Спасибо за внимание!