Урок1 Прямая на плоскости.

Виды уравнений прямой на плоскости. Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже уравнений. 1. Прямая на плоскости однозначно задается точкой и вектором, перпендикулярным к этой прямой. Такой вектор называется нормальным вектором. Пусть М 0 (x 0, y 0 ) –точка, лежащая на прямой L; а вектор – нормальный вектор прямой L. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на этой прямой, вектор будет перпендикулярен вектору, а значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю: М 0 (x 0, y 0 ) L

A(x – x 0 )+B( y – y 0 ) = 0 уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0 ) перпендикулярно вектору 2. Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение прямой: Пусть A(x – x 0 )+B( y – y 0 ) =0. Раскроем скобки: Ax+By+(A x 0B y 0 ) = 0. Обозначим (–Ax 0 – By 0 ) = C, тогда получаем Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой на плоскости, где коэффициенты А, В - координаты нормального вектора.

3. Если С 0, то можно из общего уравнения прямой Ax + By + С = 0 получить уравнение прямой «в отрезках». Разделим общее уравнение Ax + By = –С на коэффициент (–С): Обозначим: тогда уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.

Например, X Y

4. Если В 0, то можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. Из общего уравнения Ax + By + C = 0 выразим y через x: By = –Ax – C; Обозначим тогда y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k – угловой коэффициент прямой, или тангенс угла между прямой и положительным направлением оси ОХ, k = tg ; b – ордината точки пересечения прямой с осью OY. X Y O b

Если угол - острый угол, то k>0, если угол - тупой, то k

Получили каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(x 0, y 0 ) параллельно направляющему вектору 6. Получим из канонического уравнения прямой параметрические уравнения, введя параметр t: параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку М(x 0, y 0 ) параллельно вектору

7. Из параметрических уравнений получим уравнение прямой в векторном виде. Пусть радиус-вектор произвольной точки M, лежащей на прямой, радиус-вектор фиксированной точки M 0, лежащей на прямой, направляющий вектор, - уравнение прямой в векторном виде.

8. Найдем уравнение прямой L, проходящей через 2 точки А(x 1, y 1 ) и B(x 2, y 2 ) на плоскости. Тогда – направляющий вектор этой прямой, а точка A(x 1, y 1 ) L. Для любой точки М(x, y), лежащей на прямой L, векторы и должны быть коллинеарны, а значит, их координаты должны быть пропорциональны: B Получили уравнение прямой, проходящей через точки A и B. А B A L B

9. Нормальное уравнение прямой. Пусть р расстояние от прямой до начала координат, α угол, образуемый перпендикуляром к прямой и положительным направлением оси ОХ. Точка M(x,y) - произвольная точка, лежащая на прямой. Через начало координат проведем прямую перпендикулярно к данной. Точка P точка пересечения этих прямых

нормальное уравнение прямой, где cosα, cosβ – направляющие косинусы нормального вектора, направленного из начала координат в сторону прямой, а p (p>0) – расстояние от начала координат до прямой. X Y