Тождественные преобразовании тригонометрических выражений Лекция 4

Основные понятия тригонометрическая окружность градусы и радианы синус и косинус тангенс и котангенс

Тригонометрическая окружность 0 x y R=1 I II IIIIV A B C D + -

Градусы и радианы 0 x y +

- 0 x y

Перевод из радиан в градусы Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на / , число минут – на / ( 180 · 60 ) , число секунд – на / ( 180 · 60 · 60 ) и сложить найденные произведения.

Пример 1. Найти радианную меру угла 12°30 с точностью до четвёртого десятичного знака. Р е ш е н и е. Умножим 12 на / 180 : 12 · Умножим 30 на / (180 · 60 ) : 30 · · Теперь находим: 12° = рад.

Из градусов в радианы Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить число радиан на 180° / 57°.296 = 57°1745 (относительная погрешность результата составит ~ %, что соответствует абсолютной погрешности ~ 5 для полного оборота 360° ).

Пример 2. Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1. Р е ш е н и е. Последовательно найдём: 1 рад 57°1745 ; 0.4 рад 0.4 · 57°.296 = 22°.9184; 0°.9184 · ; · …

Пример 2 (продолжение) Таким образом, 0.4 рад 22°556 и тогда: 1 рад 57° рад 22°556 ___________________________ 1.4 рад 80°1251 После округления этого результата до требуемой точности в 1 окончательно получим: 1.4 рад » 80°13.

Косинус и синус 0 x y cost sint t

Тангенс 0 x y tgt t 0

Котангенс 0 x y ctgt t 0

Формулы приведения Эти формулы позволяют: 1) найти численные значения тригонометрических функций углов, больших 90°; 2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям; 3) избавиться от отрицательных углов и углов, больших 360°.

Формулы приведения

Соотношения между тригоно- мерическими функциями одного и того же угла

Формулы сложения и вычитания

Формулы двойных, тройных и половинных углов

Преобразо- вание триго- нометрических выражений в произведение

Преобразование тригоно- метрических выражений в произведение

Обратные тригонометрические функции arcsin x – это угол, синус которого равен x. Аналогично определяются функции arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x. Эти функции являются обратными по отношению к функциям sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x, поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями. Все обратные тригонометрические функции являются многозначными функциями, то есть каждому значению аргумента соответствует бесчисленное множество значений функции. Так, например, углы 30°, 150°, 390°, 510°, 750° имеют один и тот же синус.

Обратные тригонометрические функции Если обозначить любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot x и сохранить обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, то связь между ними выражается следующими соотношениями: где k – любое целое число. При k = 0 мы имеем главные значения.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций