Задачи на построение Основными чертежными инструментами, с помощью которых производятся геометрические построения, являются линейка и циркуль. С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса. В частности, с помощью циркуля на луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному. С помощью линейки через две заданные точки проводят прямую.

Задача 1 По данному рисунку объясните, как построить серединный перпендикуляр к заданному отрезку AB. Решение. Опишем окружности с центрами в точках А и В и радиусом, большим половины АВ. Обозначим точки их пересечения, лежащие по разные стороны от прямой АВ, через С 1 и C 2. Точки С 1 и C 2 одинаково удалены от концов отрезка АВ. Следовательно, они принадлежат серединному перпендикуляру к этому отрезку. Значит, прямая C 1 С 2 будет искомым серединным перпендикуляром.

Задача 2 По данному рисунку объясните, как построить середину заданного отрезка AB. Решение: Строим серединный перпендикуляр к данному отрезку и находим его точку пересечения с этим отрезком. Она и будет искомой серединой.

Задача 3 По данному рисунку объясните, как через данную точку O, принадлежащую данной прямой a, провести прямую b, перпендикулярную прямой a. Решение. С центром в точке O проведем окружность и обозначим A 1, A 2 ее точки пересечения с прямой a. Проведем серединный перпендикуляр b к отрезку A 1 A 2. Прямая b является искомой.

Задача 4 По данному рисунку объясните, как из данной точки O, не принадлежащей данной прямой a, опустить перпендикуляр на эту прямую. В противном случае проведем окружность с центром в точке O и радиусом OA. Она пересечет прямую a в точке A и некоторой точке B. Так как OA = OB, то точка O принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB. Искомый перпендикуляр будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку AB. После этого можно воспользоваться построением серединного перпендикуляра. Решение. На прямой a отметим какую-нибудь точку A. Если отрезок OA перпендикулярен a, то он является искомым.

Задача 5 По данному рисунку объясните, как построить биссектрису данного угла. Решение. Опишем окружность с центром в вершине О данного угла, пересекающую стороны угла в точках А и В. Затем этим же раствором циркуля с центрами в точках А и В опишем еще две окружности. Их точку пересечения, отличную от О, обозначим С. Проведем луч ОС. Треугольники ОАС и ОВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, AOC = BOC, т.е. луч ОС является искомой биссектрисой.

Задача 6 По данному рисунку объясните, как построить угол, равный данному, одна из сторон которого совпадает с данным лучом.

Задача 7 По данному рисунку объясните, как построить касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности. Решение: Пусть дана окружность с центром O и радиусом R. Точка A лежит вне этой окружности. Построим окружность с центром O и радиусом 2R и окружность с центром A и радиусом AO. Эти окружности пересекаются в двух точках C 1 и C 2. Соединяем эти точки с центром O. Обозначим B 1 и B 2 точки пересечения отрезков C 1 O, C 2 O с окружностью. Они и будут искомыми точками касания. Прямые AB 1 и AB 2 будут искомыми касательными.

Задача 8 Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и углу между ними. Решение: На сторонах данного угла отложим отрезки AB = c и AC = b. Проведем отрезок BC. Получим искомый треугольник ABC.

Задача 9 Постройте прямоугольный треугольник ABC по двум данным катетам BC = a, AC = b. Решение: Построим прямой угол с вершиной C. На его сторонах отложим отрезки BC = a и AC = b. Проведем отрезок AB. Получим искомый треугольник ABC.

Задача 10 Постройте прямоугольный треугольник ABC по катету AC = b и гипотенузе AB = c. Решение: Построим прямой угол с вершиной C. На одной его стороне отложим отложим отрезок AC = b. C центром в точке A проведем дугу окружности радиуса c. Обозначим B ее точку пересечения со второй стороной данного угла. Проведем отрезок AB. Получим искомый треугольник ABC. Заметим, что решение существует в случае, если c > b.

Задача 11 Постройте прямоугольный треугольник ABC по гипотенузе AB = c и острому углу A. Решение: На одной стороне данного угла отложим отрезок AB = c Из точки B опустим перпендикуляр BC на другую сторону угла. Получим искомый треугольник ABC.

Задача 12 Постройте треугольник ABC по данной стороне AB = c и двум данным углам A и B. Решение: На прямой отложим отрезок AB = c. С вершинами в концах этого отрезка в одну сторону от прямой отложим данные углы A и B. Обозначим C их точку пересечения. Полученный треугольник ABC будет искомым. Заметим, что решение существует в случае, если если стороны углов пересекаются.

Задача 13 Постройте треугольник ABC по трем данным сторонам AB = c, AC = b, AC = b. Решение: На прямой отложим отрезок AB = c. С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса b. С центром в точке B проведем дугу окружности радиуса a. Обозначим C их точку пересечения. Соединим ее отрезками с точками A и B. Полученный треугольник будет искомым. Заметим, что решение существует в случае, если a – b < c < a + b.

Задача 14 Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и медиане CD = m. Решение: На прямой отложим отрезок AB = c. С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса b. С центром в середине D отрезка AB проведем дугу окружности радиуса m. Обозначим C их точку пересечения. Соединим ее отрезками с точками A и B. Полученный треугольник будет искомым.

Задача 15 Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и медиане AD = m. Решение: На прямой отложим отрезок AB = c. С центром в точке B проведем дугу окружности радиуса b. С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса 2m. Обозначим E их точку пересечения. Через точку B и середину D отрезка AE проведем прямую и отложим на ней отрезок DC, равный отрезку BD. Соединим отрезком точки A и C. Треугольник ABC будет искомым.

Задача 16 Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, углу A и медиане BD = m. Решение: На одной стороне данного угла отложим отрезок AB = c. С центром в точке B проведем дугу окружности радиуса m. Обозначим D ее точку пересечения со второй стороной угла. На луче AD отложим отрезок DC, равный AD. Соединим отрезком точки B и C. Полученный треугольник ABC будет искомым. Заметим, что в случае острого угла A может быть два треугольника.

Задача 17 Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, углу A и медиане CD = m. Решение: На одной стороне данного угла отложим отрезок AB = c. С центром в середине D отрезка AB проведем дугу окружности радиуса m. Обозначим C ее точку пересечения со второй стороной угла. Соединим отрезком точки B и C. Полученный треугольник ABC будет искомым.

Задача 18 Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и высоте CH = h. Решение: Проведем отрезок CH = h. Через точку H проведем прямую, перпендикулярную прямой CH. С центром в точке C проведем дугу окружности радиуса b. Обозначим A ее точку пересечения с проведенной прямой. С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса a. Обозначим B 1, B 2 ее точки пересечения с проведенной прямой. Соединим отрезками точку C с точками A, B 1, B 2. Треугольники AB 1 C и AB 2 C будут искомыми.

Задача 19 Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AC = b, BC = a и высоте CH = h. Решение: Проведем отрезок CH = h. Через точку H проведем прямую, перпендикулярную прямой CH. С центром в точке C проведем дугу окружности радиуса a. Обозначим A 1, A 2 ее точки пересечения с проведенной прямой. С центром в точке C проведем дугу окружности радиуса b. Обозначим B ее точку пересечения с проведенной прямой. Соединим отрезками точку C с точками A 1, A 2, B. Треугольники A 1 BC и A 2 BC будут искомыми.

Задача 20 Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, медиане CD = m и высоте CH = h. Решение: Проведем отрезок CH = h. Через точку H проведем прямую, перпендикулярную прямой CH. С центром в точке C проведем дугу окружности радиуса m. Обозначим D ее точку пересечения с проведенной прямой. С центром в точке D проведем дуги окружности радиуса c/2. Обозначим A, B их точки пересечения с проведенной прямой. Соединим отрезками точку C с точками A, B. Треугольник ABC будет искомым.