Угол между прямой и плоскостью Найдем угол между прямой AB, направление которой задается вектором, и плоскостью α, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0. Синус искомого угла φ равен модулю косинуса угла между векторами и, где - вектор нормали данной плоскости. Следовательно, имеет место формула

Упражнение 1 Найдите угол φ между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты (1, 0, 0), и плоскостью, заданной уравнением: а) y = 0; б) x + y + z + 1 = 0. Ответ: а) 90 о ; б)б)

Упражнение 2 Найдите угол φ между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты (1, 1, 1), и плоскостью, заданной уравнением: а) y = 0; б) x + y + z + 1 = 0. б) 90 о. Ответ: а) ;

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол φ между прямой AC 1 и плоскостью BDA 1. Куб 1 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), B(1, 1, 0), A 1 (0, 1, 1), C 1 (1, 0, 1). Синус угла φ равен 1. Искомый угол равен 90 о. Ответ. 90 о. Плоскость BDA 1 задается уравнением x – y + z = 0. Вектор имеет координаты (1, -1, 1).

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка E 1 – середина ребра C 1 D 1. Найдите синус угла φ между прямой AE 1 и плоскостью BDA 1. Куб 2 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), B(1, 1, 0), A 1 (0, 1, 1), C 1 (1, 0, 1). Плоскость BDA 1 задается уравнением x – y + z = 0. Вектор имеет координаты (0,5, -1, 1).

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка E – середина ребра AA 1. Найдите угол φ между прямой СA 1 и B 1 D 1 E. Куб 3 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Плоскость B 1 D 1 E задается уравнением x – y – 2z + 1 = 0. Вектор имеет координаты (-1, 1, 1).

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F 1 – середины ребер CD и A 1 D 1. Найдите угол φ между прямой CF 1 и плоскостью BEC 1. Куб 4 Решение. Пусть вершины единичного куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1, 0, 0), A(0, 1, 0), D 1 (0, 0, 1). Плоскость BEC 1 задается уравнением 2x – y – z – 1 = 0. Вектор имеет координаты (-1, 0,5, 1).

Параллелепипед 1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = a, BC = b, CC 1 = c. Найдите синус угла φ между прямой DB 1 и плоскостью ACD 1. Решение. Пусть вершины параллелепипеда имеют координаты: D(0, 0, 0), C(a, 0, 0), A(0, b, 0), D 1 (0, 0, c), B 1 (a, b, c). Плоскость ACD 1 задается уравнением Вектор имеет координаты (a, b, c).

Параллелепипед 2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = a, BC = b, CC 1 = c. Найдите синус угла φ между прямой DA 1 и плоскостью ACD 1. Решение. Пусть вершины параллелепипеда имеют координаты: D(0, 0, 0), C(a, 0, 0), A(0, b, 0), D 1 (0, 0, c), B 1 (a, b, c). Плоскость ACD 1 задается уравнением Вектор имеет координаты (0, b, c).

Призма 1 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точка D 1 – середина ребра A 1 C 1. Найдите синус угла φ между прямой BB 1 и плоскостью AB 1 D 1. Плоскость AB 1 D 1 задается уравнением 2y + z – 1 = 0. Вектор имеет координаты (0, 0, 1). Решение. Пусть D(0, 0, 0) – середина ребра AC, A(0, 0,5, 0), D 1 (0, 0, 1),

Призма 2 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D 1 и E – середины ребер A 1 C 1 и AA 1. Найдите синус угла φ между прямой BC 1 и плоскостью B 1 D 1 E. Плоскость B 1 D 1 E задается уравнением y + z – 1 = 0. Решение. Пусть D(0, 0, 0) – середина ребра AC, A(0, 0,5, 0), D 1 (0, 0, 1), E(0, 0,5, 0,5), Вектор имеет координаты