КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания.
Advertisements

Сечения конуса. Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается.
К ОНУС Проект ученицы 11-Б класса БОЛГОВОЙ АЛЕКСАНДРЫ.
ПОВОРОТ Пусть теперь в пространстве задана прямая a и точка A, не принадлежащая этой прямой. Через точку A проведем плоскость α, перпендикулярную прямой.
Тема A Понятие о телах вращения. Тема урока Говорят, что фигура Ф в пространстве получена вращением фигуры F вокруг оси а, если точки фигуры Ф получаются.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть точка A не принадлежит плоскости π. Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную π. Точку пересечения.
Сфера и шар Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на данное расстояние, называемое.
Конус и сфера
ПОВОРОТ Пусть теперь в пространстве задана прямая a и точка A, не принадлежащая этой прямой. Через точку A проведем плоскость α, перпендикулярную прямой.
Параллельное проектирование Пусть π - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая. Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть точка A не принадлежит плоскости π. Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную π. Точку пересечения.
Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 8 (стороны.
Тела вращения
Конус Выполнила Иванова Наталия 11 Б класс. О R L P Конус – это геометрическое тело, образованное конической поверхностью и кругом с границей L. Образующие.
ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Пусть в пространстве заданы две параллельные плоскости и. F – круг в одной из этих плоскостей, например. Рассмотрим ортогональное проектирование.
Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус.
Санкт-Петербург 2007 г. Екимова Оксана 11 б. Геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Конус.
Теорема Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования π, то ее проекция F на эту плоскость будет равна фигуре F.
Пирамида, вписанная в конус Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Пирамида, вписанная в конус Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Транксрипт:

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания конуса. Сечения конической поверхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность.

Теорема 1 Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

Доказательство Впишем в коническую поверхность две сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F 1, F 2 и конической поверхности по окружностям C 1 и C 2 соответственно. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF 1 = AA 1, AF 2 = AA 2. Поэтому AF 1 + AF 2 = AA 1 + AA 2 = A 1 A 2. Но длина отрезка А 1 А 2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна образующей соответствующего усеченного конуса. Поэтому сумма расстояний от точки А до точек F 1, F 2 будет постоянной. Пусть А – произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через А 1, А 2 точки ее пересечения с окружностями C 1, C 2 соответственно. Заметим, что прямая AS является касательной к обеим сферам.

Построение сечение конуса (эллипс) В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD. На образующих SA и SB выберем какие-нибудь точки A и B. Точку пересечения AB и SO обозначим O. Через нее проведем прямую, параллельную CD и ее точки пересечения с SC и SD обозначим C и D соответственно. Они будут принадлежать искомому сечению. Проведем хорду C 1 D 1, параллельную CD, и точку O 1 ее пересечения с AB соединим с S. Точку пересечения SO 1 и AB обозначим O 1. Через точку O 1 проведем прямую, параллельную C 1 D 1 и ее точки пересечения с SC 1 и SD 1 обозначим C 1 и D 1, соответственно. Они будут принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

Теорема 2 Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола.

Доказательство Впишем в коническую поверхность сферу, касающуюся плоскости α в некоторой точке F и конической поверхности по окружности C, лежащей в плоскости β, перпендикулярной оси. Плоскости α и β образуют между собой угол 90 о -φ и пересекаются по некоторой прямой d. Пусть А - произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через А 1 точку ее пересечения с окружностью C. Заметим, что прямая AS является касательной к сфере. Прямая AF также является касательной. Отрезки АF и АА 1 равны как отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки. Опустим из точки А перпендикуляр АВ на плоскость β и перпендикуляр АD на прямую d. Угол А 1 АВ равен φ. Угол АDВ является углом между плоскостями α и β и поэтому равен 90 о - φ. Следовательно, угол BAD равен φ. Прямоугольные треугольники АВА 1 и АВD равны, так как имеют общий катет и соответственно равные углы. Поэтому АА 1 = АD. Окончательно получаем равенство AF = AD, которое означает, что расстояние от произвольной точки сечения до точки F равно расстоянию от этой точки до прямой d, т. е. сечением конической поверхности в этом случае является парабола.

Построение сечение конуса (парабола) В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD. Через точку O проведем прямую, параллельную SA и ее точку пересечения с SB обозначим B. Она будут принадлежать искомому сечению. Через какую-нибудь точку O 1 диаметра CD проведем прямую AO 1 и ее точку пересечения с эллипсом основания обозначим B 1. Через точку O 1 проведем прямую, параллельную SA и ее точку пересечения с SB 1 обозначим B 1. Она будет принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

Теорема 3 Если плоскость образует с осью конуса угол, меньший угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола.

Доказательство Впишем в коническую поверхность сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F 1 и F 2 и конической поверхности по окружностям C 1 и C 2 соответственно. Пусть А - точка сечения, расположенная в той же части конической поверхности, что и точка F 1. Проведем образующую AS и обозначим через А 1, А 2 точки ее пересечения с окружностями C 1, C 2 соответственно. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF 1 = AA 1, AF 2 = AA 2. Поэтому AF 2 - AF 1 = AA 2 - AA 1 = A 1 A 2. Но длина отрезка А 1 А 2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна сумме образующих соответствующих конусов. Следовательно, разность AF 2 - AF 1 расстояний от точки А до точек F 1, F 2 будет постоянной. Таким образом, сечением конической поверхности в этом случае является гипербола.

Построение сечение конуса (гипербола) Построим сечение конуса, параллельное его оси SO. Проведем хорду C 1 D 1, параллельную CD. Через точку O 1 ее пересечения с диаметром AB проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB обозначим B 1. Она будет принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение. В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD. Через какую-нибудь точку O 2 хорды C 1 D 1 проведем прямую OO 2 и ее точку пересечения с эллипсом обозначим B 2. Через точку O 2 проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB 2 обозначим B 2. Она будет принадлежать искомому сечению.

Упражнение 1 Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе? Ответ: Эллипса, параболы или гиперболы.

Упражнение 2 Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму имеет освещенный фонариком участок ровной поверхности в зависимости от угла наклона фонарика? Ответ: Эллипса, параболы или гиперболы.

Упражнение 3 Что представляет собой сечение конической поверхности, параллельное: а) оси; б) образующей? Ответ: а) Гипербола;б) парабола.

Упражнение 4 Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью? Ответ: Фигура, ограниченная параболой.

Упражнение 5 Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°? Ответ: Фигура, ограниченная: а) гиперболой; б) параболой;в) эллипсом.

Упражнение 6 Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу? Ответ: а) Больше 60 о ;б) 60 о ;в) меньше 60 о.