МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. На рисунках приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников

КУБ 1 Кубом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов. Обычно куб изображается так, как показано на рисунке. А именно, рисуется квадрат ABB 1 A 1, изображающий одну из граней куба, и равный ему квадрат DCC 1 D 1, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадрата ABB 1 A 1. Соответствующие вершины этих квадратов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром.

КУБ 2 На рисунках показаны несколько изображений куба. На рисунке а) мы смотрим на куб сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

Упражнение 1 Изобразите куб на клетчатой бумаге, аналогично данному на рисунке.

Упражнение 2 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 3 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Параллелепипедом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, грани которого – прямоугольники. Обычно параллелепипед изображается так, как показано на рисунке. А именно, рисуется параллелограмм ABB 1 A 1, изображающий одну из граней параллелепипеда, и равный ему параллелограмм DCC 1 D 1, стороны которого параллельны соответствующим сторонам параллелограмма ABB 1 A 1. Соответствующие вершины этих параллелограммов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром. В случае прямоугольного параллелепипеда вместо параллелограммов, изображающих две грани, рисуются равные прямоугольники.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД На рисунках показаны несколько изображений прямоугольного параллелепипеда. На рисунке а) мы смотрим на куб сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

Упражнение 1 Изобразите прямоугольный параллелепипед на клетчатой бумаге, аналогично данному на рисунке.

Упражнение 2 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

Упражнение 3 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

ПРИЗМА Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований и называемых боковыми гранями призмы. Стороны боковых граней называются боковыми ребрами призмы. Призма называется n-угольной, если ее основаниями являются n- угольники. На рисунке изображена четырехугольная призма. ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – равные четырехугольники с соответственно параллельными сторонами. Соответствующие вершины этих четырехугольников соединены отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра призмы, проводятся пунктиром.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА Призма называется прямой, если её боковые грани – прямоугольники. На рисунке изображена прямая треугольная призма, ABB 1 A 1 – прямоугольник.

ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма. Ее основания изображаются шестиугольниками, противоположные стороны которых равны и параллельны. Боковые грани ABB 1 A 1 и DEE 1 D 1 изображаются прямоугольниками.

Упражнение 1 Изобразите треугольную призму на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 2 Изобразите правильную шестиугольную призму на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 3 На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 5 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 6 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 7 Существует ли призма, которая имеет: Ответ: Нет.а) 4 ребра? Ответ: Нет. Ответ: Да. б) 6 рёбер? в) 12 рёбер? г) 21 ребро?

Упражнение 8 Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет: Ответ: Шестиугольник.а) 18 рёбер? б) 24 вершины? в) 36 граней? Ответ: Двенадцатиугольник. Ответ: Тридцатичетырёхугольник.

ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Стороны боковых граней называются боковыми ребрами пирамиды. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n- угольник. На рисунке изображена четырехугольная пирамида. Четырехугольник ABCD – основание, S – вершина пирамиды.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и все боковые ребра равны. На рисунках изображены правильная четырехугольная и правильная шестиугольная пирамиды. Их основания изображаются соответственно параллелограммом и шестиугольником, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Упражнение 1 Изобразите правильную четырехугольную пирамиду на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 2 Изобразите правильную шестиугольную пирамиду на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 3 На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 5 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 6 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 7 Существует ли пирамида, которая имеет: а) 10 ребер? б) 6 рёбер? в) 24 ребра? г) 33 ребра? Ответ: Да. Ответ: Нет.

Упражнение 8 Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, которая имеет: Ответ: 59-угольник. а) 8 рёбер? б) 22 вершины? в) 60 граней? Ответ: 4-угольник. Ответ: 21-угольник.

Многогранники 1 У многогранника шесть вершин и в каждой из них сходится четыре ребра. Сколько у него рёбер? Ответ:

Многогранники 2 У многогранника двенадцать граней и все они пятиугольные. Сколько у него рёбер? Ответ:

Многогранники 3 Сколько рёбер может сходиться в вершине многогранника? Ответ: Любое число, не меньшее 3.

Многогранники 4 Существуют ли многогранники, отличные от куба, все грани которых – квадраты? Ответ: Да, например, пространственный крест.

Многогранники 5 Существуют ли многогранники, отличные от параллелепипеда, все грани которых – параллелограммы? Ответ: Да.

Многогранники 6 Существуют ли многогранник, у которого: а) 5 ребер?Нет. б) 6 ребер?Да, тетраэдр. в) 7 ребер?Нет. г) 8 ребер?Да, четырехугольная пирамида. д) 9 ребер?Да, треугольная призма. е) 10 ребер?Да, пятиугольная пирамида. ж)* 11 ребер?Да, пример такого многогранника изображен на рисунке.

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА Если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть ее на плоскость так, чтобы все многоугольники, входящие в эту поверхность, лежали в данной плоскости, то полученная фигура на плоскости называется разверткой многогранника. Например, на рисунке изображены развертки куба и треугольной пирамиды.

РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКА Для изготовления модели многогранника из плотной бумаги, картона или другого материала достаточно изготовить его развертку и затем склеить соответствующие ребра. Для удобства склейки развертку многогранника изготавливают с клапанами, по которым и производится склейка.

Упражнение 1 Укажите развертки куба. Ответ. в), д), ж).

Упражнение 2 Укажите развертки треугольной призмы. Ответ. а), б), в), д), ж).

Упражнение 3 Укажите развертки треугольной пирамиды. Ответ. а), б), в), д).

Упражнение 4 Укажите развертки четырехугольной пирамиды. Ответ. а), б), д), е).