Алгебра логики

Логика Логика – это наука о формах и законах человеческой мысли, о законах доказательных рассуждений, изучающая методы доказательств и опровержений, т.е. методы установления истинности или ложности одних высказываний (утверждений) на основе истинности или ложности других высказываний.

Алгебра логики Алгебра логики это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Предмет алгебры логики - высказывание, т. е. утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Отличие алгебры логики и алгебры: в формулах алгебры логики переменные являются логическими и принимают два значения: истина (1), ложь (0)

Высказывания Простые Сложные (атомарные) (молекулярные) «Процессор – устройство, обрабатывающее информацию» «Процессор – устройство, обрабатывающее информацию и состоит из АЛУ »

Высказывания Истинные Ложные А=1 В=0 А=«Оперативная память хранится в микросхемах» В=«Сканер – устройство для печати»

Таблица истинности Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Таблица истинности Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

КОНЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу И; Обозначение &; В языках программирования and; Название: Логическое умножение.

Таблица истинности для И

ДИЗЪЮНКЦИЯ Соответствует союзу ИЛИ; Обозначение V; В языках программирования or; Название: Логическое сложение.

Таблица истинности для ИЛИ

ИНВЕРСИЯ Соответствует союзу НЕ; Обозначение А; В языках программирования not; Название: Отрицание.

Таблица истинности для НЕ

ИМПЛИКАЦИЯ выражается словами ЕСЛИ …, ТО …; Обозначение АВ; Название: Логическое следование.

Таблица истинности для импликации АВ АВ

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ выражается словами ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА Обозначение АВ; Название: Логическая равнозначность.

Таблица истинности для эквиваленции АВ АВ

Порядок выполнения логических операций 1. инверсия (не), 2. конъюнкция(и) 3. дизъюнкция(или) 4. импликация ( ) 5. эквивалентность Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Законы алгебры логики. 1. Закон двойного отрицания: А =А. 2. Переместительный (коммутативный) закон: A V B = B V A и A&B = B&A 3. Сочетательный закон: (AVB)VC = AV(BVC) и (A&B)&C = A&(B&C)

Законы алгебры логики. 4. Распределительный закон (A V B)&C = (A&C) V (B&C) (A&B) V C = (A V C)&(B V C)

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана) A&B = A V B A V B = A & B

Формулы поглощения:

Закон исключения (склеивания) (A &B) V (A & B) = B (A V B) & (A V B) = B

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 1. Найдите значения логических выражений: (1 1) (1 0) ((1 0) (1 0)) 1 2. Определите истинность простых высказываний: А= Принтер - устройство ввода информации В= Процессор - устройство обработки информации С= Монитор - устройство хранения информации D= Клавиатура - устройство ввода информации Определите истинность составных высказываний 1) (А В) (С D) 2)¬A ¬B 3. Построить таблицу истинности и определить логические значения сложного высказывания: А (¬В ¬В ¬С)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Записать формулу логического высказывания; «Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку» УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЯ 1. ¬(¬Х ¬Y) 2.(¬X Y) X 3.¬(A ¬B) 4.(A B) (A B) 5.(A B) ( A B) Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (¬A \/ B) \/ ¬C? 1)(A /\ ¬B) \/ ¬C 2)¬A \/ B \/ ¬C 3)A \/ ¬B \/ ¬C 4)(¬A /\ B) \/ ¬C