Логические операции. Таблицы истинности.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 2 Высказывание – это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель) Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть не является высказыванием. Употребляемые в обычной речи связки «и», «или», «не», «если..., то…» и т.п. позволяют из уже заданных высказываний строить новые сложные высказывания. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как логических операций над высказываниями.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 3 Высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «и», называется конъюнкцией или логическим умножением. Высказывая конъюнкцию, мы утверждаем, что выполняются оба события, о которых идет речь в составляющих высказываниях. Например, сообщая: {Ивановы привезли на зиму уголь и закупили дрова на растопку камина}, мы выражаем в одном высказывании свое убеждение в том, что произошли оба этих события.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково4 Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны АВА & В А В нет да

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 5 Высказывание, состоящее из двух высказываний, объединенных связкой «или», называется дизъюнкцией или логическим сложением. В высказываниях, содержащих связку «или», указывается на существование двух возможных событий, из которых хотя бы одно должно быть осуществлено. Например, сообщая: {Алина любит шоколадные конфеты или вафли}, мы имеем в виду, что Алина хотя бы что-либо любит, при этом она может одновременно любить конфеты и вафли.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково6 Дизъюнкция - АВА В логическая операция, которая каждым двум элементарным высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. А В да нет да

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 7 Высказывание, образованное из двух высказываний, объединенных связкой «либо» («либо только …, либо только …»), называется строгой дизъюнкцией, исключающим ИЛИ, сложением по модулю 2. В отличие от обычной дизъюнкции в высказывании, являющемся разделительной дизъюнкцией, мы утверждаем, что произойдет только одно событие из двух возможных. Например, сообщая: {В воскресенье мы пойдем в театр или в цирк}, мы имеем в виду, что в воскресенье пойдем только в театр, либо только в цирк.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково8 Строгая дизъюнкция - АВА В логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда ровно одно из двух высказываний является истинным. А В да нет да нет

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 9 Предложение, образованное из двух предложений, объединенных связкой «если …, то …», в грамматике называется условным предложением, а в логике такое высказывание называется импликацией. Например, сообщая: {Если на улице прошел дождь, то асфальт мокрый}, ясно, что в самом деле, не возможно, чтобы прошел дождь, а асфальт остался сухой, во всех остальных ситуациях высказывание будет истинно.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково10 Импликация - АВА В логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое, являющаяся ложным тогда и только тогда, когда условие (предпосылка) – истинно, а следствие (заключение) – ложно. А В нет да

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 11 Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», в логике называется эквивалентностью. Эквивалентность используется в тех случаях, когда необходимо выразить взаимную обусловленность. Например, сообщая: {Я получу паспорт тогда и только тогда, когда мне исполнится 14 лет}, человек утверждает не только то, что после того, как ему исполниться 14 лет, он получит паспорт, но и то, что паспорт он сможет получить только после исполнения 14 лет.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково12 Эквивалентность - АВА В логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково 13 Рассмотренные выше операции были двуместные, т.е. выполнялись над двумя высказываниями. В алгебре логики широко применяется и одноместная операция отрицание. Например, отрицанием высказывания {У меня дома есть компьютер} будет высказывание {Неверно, что у меня дома есть компьютер} или {У меня дома нет компьютера}. При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что», либо отрицание строится к сказуемому, тогда к сказуемому добавляется частица «не», при этом слово «все» заменяется на «некоторые» и наоборот. Например: Все кошки серые. Отрицание этого высказывания: Неверно, что все кошки серые, Не все кошки серые, Некоторые кошки не серые.

Метелева И.А. Гимназия 3, г. Тейково14 Отрицание - А логическая операция, которая каждому элементарному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которому противоположно исходному. А нет да не А