Вектор-функция скаляра Дифференцирование вектор-функции Правила дифференцирования вектор-функции Пример Годограф вектор-функции Соприкасающаяся плоскость Главная нормаль и бинормаль Кривизна линии Кручение линии Основные формулы дифференциальной геометрии линии Формулы Френе и сопровождающий трехгранник Пример Длина дуги линии Плоские линии Приложения в механике

Переменный вектор называется функцией скалярного аргумента t, если каждому значению скаляра t из области допустимых значений соответствует определенное значение функции. y z x O Годограф M(x,y,z) = M(x(t),y(t),z(t)) = M(t) O Предел вектор-функции Непрерывность вектор-функции

y z x O Производной вектор-функции называется предел M(t) M(t + t) Механический смысл производной O M(t) M(t + )

Правила дифференцирования векторных функций скалярного аргумента совпадают с правилами дифференцирования для скалярных функций, но учитывают то, что функции векторные. Дифференциал Свойство инвариантности Формула Тейлора

@ Найти производную вектор-функции и построить годограф для Решение O y z x

Кривая (линия) может быть представлена как траектория точки M – конца вектора-функции скалярного аргумента, т.е. как годограф вектор-функции y z x O Касательной к линии в данной точке называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку M и бесконечно близкую к ней точку линии. M M1M1 Соприкасающейся плоскостью кривой в точке M называется предельное положение плоскости, проходящей через касательную в данной точке M и через бесконечно близкую к ней точку.

y z x O M M1M1 Теорема Производные первого и второго порядков для располагаются в соответствующей соприкасающейся плоскости.. Таким образом вектор разлагается по векторам и, которые лежат в соприкасающейся плоскости.

Всякая прямая, проходящая через данную точку M пространственной кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью. y z x O M Главной нормалью называется нормаль, которая лежит в соприкасающейся плоскости. Бинормалью называется нормаль, которая перпендикулярна вектору касательной и главной нормали.

y z x O M Кривизной K линии в данной точке M называется предел угла поворота касательной при переходе из M в бесконечно близкую точку M 1, отнесенный к бесконечно малой длине дуги | s|, заключенной между этими точками M1M1 s Радиусом круга кривизны называется радиус окружности, которая касается линии (лежит в соприкасающейся плоскости) и радиус которой связан с кривизной соотношением

Кручением Т линии в данной точке M пространственной кривой называется взятый с надлежащим знаком предел угла поворота соприкасающейся плоскости (вектора бинормали) при переходе из M в бесконечно близкую точку M 1, отнесенный к бесконечно малой длине дуги | s|, заключенной между этими точками y z x O M M1M1 s

y z x Вектор-функция может быть представлена как функция дуги годографа : O A B Орт касательнойПервая основная формула

Орт главной нормали Вторая основная формула M(s) M(s+ s) Геометрический смысл модуля ? Направление вектора ? Рассмотрим производную. т

Орт бинормали Третья основная формула Геометрический смысл ? Направление вектора ? Найдем орт бинормали т т

Сопровождающим трехгранником, связанным с точкой M пространственной кривой, называется трехгранник, ребрами которого являются касательная, нормаль и бинормаль. M Спрямляющая плоскость Соприкасающая плоскость Нормальная плоскость Формулы Френе

@ Найти кривизну и кручение кривой - годографа вектор-функции Решение O y z x y z x

@ O y z x y z x

Длиной L дуги линии называется предел длины вписанной в неё ломанной при условии, что число звеньев ломанной неограниченно возрастает, а максимум их длин стремится к нулю: y z x O A B

Основные уравнения: x y 0 M Кривизна плоской линии

Скорость точки x y 0 M Ускорение точки