{ алгоритм решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - действительные корни характеристического уравнения - кратные корни - сопряженные комплексные корни кратности m - общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка - метод вариации произвольных постоянных - метод подбора частного решения неоднородного уравнения – примеры }

Однородное уравнение Решение ищется в виде : Характеристическое уравнение

Действительные простые корни Определитель Вандермонда

Действительные корни кратности Для двух действительных кратных корней в уравнении: формула Остроградского - Лиувилля

Пара сопряженных комплексных корней Для двух комплексных корней в уравнении

пар сопряженных комплексных корней

@ Решить линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка Решение

@ Решить линейное однородное дифференциальное уравнение пятого порядка Решение

Решение ищется в виде Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа – общее решение однородного уравнения – частное решение неоднородного уравнения

@ Решить ЛНДУ третьего порядка Решение Пишем систему уравнений Лагранжа

@

@

@

– частное решение неоднородного уравнения Метод подбора частного решения используется в случае, если функция в правой части уравнения имеет специальный вид: Здесь и – действительные числа, p m (x) и q l (x) – многочлены с действительными коэффициентами степени m и l соответственно. Пример

Решение ищется в виде: Здесь и – те же числа, что в формуле для f(x) ; >= 0 - кратность корня для характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, причем = 0 когда не является корнем уравнения; s – большее из чисел m и l – степеней многочленов p m (x) и q l (x) ; P s (x) и Q s (x) – многочлены степени s с неопределенными коэффициентами, подлежащими численному определению. Сформированное выражение для частного решения, после n - го дифференцирования, подставляется в исходное дифференциальное уравнение. Неопределенные коэффициенты находятся из равенства коэффициентов у функций в полученных уравнениях.

Найти частное решение ЛНДУ третьего порядка