Вычисление площадей плоских фигур Пример Вычисление площади фигуры в полярной системе координат Пример Вычисление объема тел Пример Вычисление длины дуги Пример Вычисление площади поверхности тела вращения Пример Пример инженерной задачи

S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, снизу осью абсцисс x, двумя прямыми x = a и x = b, параллельными оси ординат. f(x) x ab S y Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой и синусоидой -5 /4 /4 y x cos x sin x

@ Найти площадь фигуры, ограниченной прямой, параболой и осью x y x 24 Точки пересечения кривых : (0;0), (2;0), (4;2) S1S1 S2S2 Первое решение : 0 Второе решение :

@ Найти площадь эллипса с полуосями a и b y x a b

@ Найти площадь астроиды : Используем уравнение астроиды в параметрической форме

y x 0 M(x,y) 0 dl = d d a ) b ) a b

Найти площадь

В общем случае для этих целей используются двойной или тройной интеграл. В частном случае, если известны площади параллельных сечений вдоль выбранного направления, можно получить расчетную формулу для объема.

@ Найти объем цилиндрического отрезка с радиусом основания a и высотой h a h x x z y

x y

Найти объем шара радиуса a x

Найти объем тора с радиусами R = 2 и a = 1 R a R a x

dx dy 0 dz A B Плоская кривая

Площадь конического кольца x y

@ x y Найти площадь сферы радиуса a

@ Найти силу давления воды на стенку шлюза в форме полукруга радиуса R, диаметр которого совпадает с поверхностью воды O R R x dx r