{ двойной интеграл – двукратный интеграл - пример – замена переменной в двойном интеграле – якобиан преобразования – вычисление двойного интеграла в полярной системе координат – примеры }

Двойной интеграл z x y 0 S f(x,y) z = f(x,y z = f(x,y) Двойной интеграл Двухкратный интеграл x = a x = b x x a b Интегральная сумма Римана

@ Вычислить двойной интеграл: Решение Пример y x 2 3 S

S2S2 Двойной интеграл z x y 0 S z = f(x,y) Объем цилиндроида (цилиндрического бруса) y = c y = d y y d c Свойства S1S1 Площадь плоской фигуры - Теорема Фубини d c a b

@ Вычислить двойной интеграл: Решение Пример y x y = 1 y = 2 x = y x = y 3 D D1D1D1D1 D2D2D2D2 Второй способ вычисления интеграла - неэффективен

Решение Вычислить y x X = 2 X = 8 lnx S

v u V = 2 V = 5 U = 1 U = 3 Замена переменных в двойном интеграле Замена переменных в двойном интеграле определяется отражением T области R в плоскости uv в область S плоскости xy. y x (x,y) S v u (u,v) R y x Y = 2-x Y = 5-x y = 2x+3 y = 2x+1 Пусть S – область, ограниченная прямыми линиями y = 2x + 3, y = 2x + 1, y = 5 - x and y = 2 - x. Найти преобразование T с отражением области R в плоскости uv на S, где R – прямоугольная область с границами, параллельными осям u, v. Пример S R

Якобиан преобразования Якобианом преобразования называется определитель: Замена переменной в двойном интеграле y x (x,y) S v u (u,v) R

Решение Вычислить y x Y = 2-x Y = 5-x y = 2x+3 y = 2x+1 S v u V = 2 V = 5 U = 1 U = 3 R

Двойной интеграл в полярной системе координат Якобиан преобразования: Преобразование T : отражение области R : на S: x,y. y x (, ) (x,y) 0 g 2 ( ) g 1 ( ) 0 п.о.п.о. R

Пример Решение The area of the region D is then, Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой и лежащей вне круга 0 =