Определенный интеграл как предел интегральной суммы Пример Свойства определенного интеграла Основная теорема математического анализа – теорема Барроу Формула Ньютона-Лейбница Подстановка в определенном интеграле Примеры вычислений определенного интеграла Пример Интегрирование нечетных и четных функций в пределах, симметричных относительно начала координат

f( k ) k Пусть f(x) определена на [a,b] и D - разбиение отрезка [a,b] на подынтервалы - отрезки I k. x n-1 x n = ba = x 0 x 1 x k-1 x k Сумма S D называется суммой Римана Предел, к которому стремится интегральная сумма S D при неограниченном произвольном разбиении D и стремлении к нулю максимального из отрезков разбиения называется определённым интегралом от функции f(x) на [a, b]. Предел называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует, называют интегрируемой в смысле Римана. Составим сумму

@ Вычислить определенный интеграл Воспользуемся формулой для суммы кубов y x 01

S – площадь криволинейной трапеции Свойства определенного интеграла следуют из его определения, как предела суммы Римана – интегральной суммы. f(x) x ab S y

Теорема (об оценке определенного интеграла) Тем более справедливо двойное неравенство y x ab f(x) max min

Теорема о среднем Доказательство Из предыдущей теоремы: Используя теорему о среднем, для a < < b получим:

Теорема Барроу (об интеграле с переменным верхним пределом) Функция дифференцируема в интервале (a,b) и для всех x в этом интервале. Доказательство

Предположим, что F(x) – первообразная функция для f(x). Тогда Действительно, по основной теореме анализа первообразная, тогда F(x = a) = F(a) = - с, а F(b) есть величина интеграла с переменным верхним пределом в точке x = b, что и дает вышеприведенную формулу

Теорема Если g и её производная g непрерывны на [a,b] и f непрерывна на [g(a),g(b)], то Доказательство Если F(x) – первообразная для f(x), то

@ e 1 x y Найти площадь криволинейной трапеции :

@

Теорема Если f – нечетная функция и пределы интегрирования [-a, a], то Если f – четная функция и пределы интегрирования [-a, a], то Доказательство Теорема Для первого слагаемого интеграла делаем подстановку: x = -t и dx = - dt - /2 /2 x 5 cos 7 x