{ определение – типы матриц – сложение матриц – умножение матриц – свойства операции умножения – умножение матрицы на число – полином от матриц – транспонирование матрицы – примеры }

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками (квадратными скобками, двойными прямыми, др.). Элементы матрицы обозначают той же буквой, но маленькой. Матрицей называется набор m n элементов множества K m,n, записываемый в виде прямоугольной таблицы. Элементы матрицы выделяют индексами, первый индекс обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй номер столбца.

Квадратная матрица A размерности n : Элементы a ii называют диагональными. Если все недиагональные элементы a ij = 0 при i не равном j, то эта матрица называется диагональной. Если сверх того все диагональные элементы равны друг другу, то матрица называется скалярной.

Скалярная матрица называется единичной E, если элементы матрицы равны единице. Треугольной называется матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) диагонали, равны нулю: Нижняя треугольная матрица Верхняя треугольная матрица

Алгебраической суммой A + B называется m x n матрица C, такая что Сложение матриц ассоциативно и коммутативно. Матрица у которой все элементы равна нулю, называется нулевой – 0 m,n. Если у матриц A и B элементы равны, но отличаются знаком, то A + B = 0, т.е. B = - A. Пример A + 0 = A

Произведением m x n матрицы A на n x p матрицу B называется m x p матрица C = AB, элементы которой находятся по правилу Пример

@ Представить систему линейных уравнений в матричной форме Решение A X B 2x – y + z x + y + z -x + 3y - z

Умножение матриц ассоциативно (если для взятых матриц возможно умножение) Если матрица A – m x n матрица, то ее умножение на единичную E (при правильном выборе места расположения сомножителей) не меняет ее вида Если матрица A – квадратная матрица размерности n, то ее умножение на единичную E не зависит от порядка сомножителей в произведении Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения

Произведение матрицы на элемент кольца: Свойства

Пусть f(x) = a 0 + a 1 x + … + a n x n есть полином с коэффициентами a i. Значением полинома f(x) при x = A – полиномом f( A ) называют матрицу Пример f(x) = x 2 + x + 1

Транспонированием матрицы называют такое ее преобразование, при котором строки этой матрицы заменяются ее столбцами с теми же номерами. Операция транспонирования обозначается символом T Свойства Если произведение матриц A и B определено, то: Если A и B матрицы одинаковых размеров, то: Матрица A называется симметрической, если:

@ Транспонировать матрицу (A 2 + E 3 ), где Решение A2A2