{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.

Advertisements

Непрерывность функций Лекция 3. Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке, если 1)она определена в этой.

Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.

Точки разрыва функции. Их классификация. Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности.

Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.

Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства.

Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.

Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности.

Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.

Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке.

Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.

Непрерывность функции Метод интервалов. Функция y= f (x) непрерывна на интервале Х, если она непрерывна во всех точках интервала Х Функция у = f (x) непрерывна.

Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ.. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких,

КАКАЯ ФУНКЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ? Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в этой точке и её окрестности и.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Выберем точку Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy=f(x+Δx)- f(x).

Теоремы о производных суммы, произведения и частного, их следствия и обобщения. Связь непрерывности и дифференцируемости функций.

Основы высшей математики и математической статистики.

Исследование функций и построение графиков. Теоретический материал.

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 5. Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва. Производные.

Транксрипт:

{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций - равномерно непрерывная функция }

Пусть. Функция непрерывна в точке x 0 и x 0 - точка непрерывности функции f(x), если, x 0 – предельная точка X и существует. x 0 – точка разрыва функции f(x), если x 0 – предельная точка X и она не является точкой непрерывности f(x).

Функция f(x) непрерывна в точке x 0, если: y = f(x) x y 0 x0x0 x 0 - f ( x 0 ) x 0 + f ( x )f ( x ) ( )

Функция f(x) непрерывна в точке x 0 если Функция f(x) непрерывна в точке x 0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции y x 0

@ Решение Доказать, что функция непрерывна в точке 0 Требуется доказать, что | e x – 1 | < при | x | < ( ) логарифмируем последние неравенства по основанию e Итак, чтобы заданная функция была непрерывна при x = 0, достаточно потребовать

x 0 предельные точки X первого ( I ) родавторого ( II ) рода Не существует хотя бы одного конечного одностороннего предела

@ y = x y x 0 Разрыв первого рода

@ y x 1 0 Разрыв второго рода

Функция непрерывна в точке, если данная точка является ее точкой непрерывности, функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Пусть y = f(x) - непрерывна и строго монотонна на промежутке Х, тогда справедливо следующее: на промежутке Y существует непрерывная обратная функция x = f -1 (y), характер монотонности обратной функции такой же, как и у прямой. Все элементарные функции – непрерывны в области своего определения. y x 0 /2 - /2

Теорема 1 Пусть непрерывны в. Тогда f + g, fg, и f / g ( если ) непрерывны в x 0. Теорема 2 Если, f непрерывна в x 0, g непрерывна в y 0, тогда g( f(x) ) непрерывна в x 0. y x 0 y = f(x) = -x 2 g ( f(x) ) = e -x 2 x 0 g

Теорема 3 (Вейерштрасса) Область значений непрерывной на замкнутом ограниченном множестве функции замкнута и ограничена. Если непрерывна на [ a, b ] и f(a) f(b) < 0, то существует, для которой f(c) = 0. Теорема 4 (Больцано–Коши, о промежуточном значении) x 0 y a b f(a) f(b) ab f(a) Разрывная функция [ ] x y c

Функция равномерно непрерывна на X, если Пример То есть для = 1 нельзя указать, удовлетворяющее неравенству одновременно для всех. Равномерной непрерывности нет.