Числовые ряды Основные понятия Основные теоремы о сходящихся рядах Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Основные понятия Бесконечным числовым рядом называется выражение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность: U 1, U 2, U 3 … U n.…, где U n = f(n). Сумму конечного числа n первых членов ряда называют n - ой частичной суммой ряда. U 1 + U 2 + U 3 + … U n + … члены ряда общий член ряда

Основные понятия Ряд называется сходящимся если его n - я частичная сумма S n, при неограниченном возрастании n, стремится к конечному пределу, т.е. если существует конечный предел. Если или не существует, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет. сумма ряда

Основные понятия Пример Рассмотрим ряд геометрической прогрессии: первый член прогрессии знаменатель прогрессии n - ая частичная сумма ряда: Рассмотрим отдельные случаи: 1 - ряд сходится 2 - ряд расходится

Основные понятия Следовательно, ряд геометрической прогрессии сходится при 3 - предел не существует, ряд расходится 4 - ряд расходится

Основные теоремы о сходящихся рядах 1 2 На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов, т.е. если сходится ряд получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится сам данный ряд. Если ряд сходится и сумма его равна S то ряд также сходится и сумма его равна, где С - постоянная. Если ряды и сходятся, то ряд также сходится и сумма его равна S 1 +S 2. 3

Необходимый признак сходимости ряда Теорема Если ряд сходится то его n - й член стремится к нулю, при n стремящимся к бесконечности. Доказательство Рассмотрим ряд По условию ряд сходящийся: (1) Запишем ряд в виде: S n-1 SnSn (2)

Необходимый признак сходимости ряда Вычтем из (1) - (2) почленно, получим: Следствие Если n -й член ряда не стремится к нулю, при то ряд расходится, если,то ряд может сходится, может расходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак Даламбера Ряд с положительными членами: - для любого n Пусть дан ряд с положительными членами: Допустим существует предел: ряд сходится ряд расходится ?

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример ряд сходится

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак Коши Пусть дан ряд с положительными членами: Допустим существует предел: ряд сходится ряд расходится ?

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример ряд сходится

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Интегральный признак сходимости Пусть дан ряд с положительными членами, причем Пусть также f(x) - непрерывная монотонно убывающая функция, такая что f(n) = U n. Тогда данный ряд и интеграл одновременно сходятся и расходятся.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример Рассмотрим функцию: при Эта функция монотонно убывает и непрерывна. Следовательно условие интегрального признака соблюдены. Такой ряд называется обобщенный гармонический ряд

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами - ряд расходится Рассмотрим случай, когда - при k > 1 – ряд сходится - при k < 1 – ряд расходится При k = 1 :

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами: Для этих рядов справедливо: - сходится также сходится - расходится также расходится

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами - исследуемый ряд - ряд, который выбирается для сравнения и про который должно быть известно, сходится он или расходится. Ряды, которые обычно выбираются для сравнения: 1 Ряд геометрической прогрессии: сходится при 2 Обобщенный гармонический ряд сходится при

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример Выберем для сравнения ряд: Ряд сходится, так как это геометрическая прогрессия со знаменателем Неравенство выполняется для всех членов рядя, начиная с третьего, значит ряд U n также сходится по признаку сравнения.