ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К. 12 октября 2011 года

Для того, чтобы надежно определялось решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей нужно, чтобы число было не очень большим. число обусловленности Справедливо неравенство Число обусловленности возмущенной матрицы близко кесли Решая систему с хорошо обусловленной матрицей можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо будет использованы возмущенныес малыми 2

В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить Постулат: Только такие числовые функцииот матрицы можно вычислять, для которых справедливо неравенство в котором- известная функция При этом условии, знаяи точность можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной Пример вычислимой функции - число обусловленности матрицы где если Хорошо известны алгоритмы решения системы линейных уравнений, при выполнении которых одновременно с решением вычисляется 3

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений с матрицей MATLAB SCILAB Решения получены с помощью коммерческого MATLAB и свободно распростроняемого SCILAB (НГУ, ИМ СО РАН)

Изложение понятия о решении системы уравнений Обычно начинается с введения определителя Реальное вычисление определителя приводит к серьёзным проблемам: ПРИМЕР: 6

При 7 В теории дифференциальных уравнений (также механике, физике) широко используется критерий устойчивости решения Чтобы для всехнадо, чтобы Не устойчиво Пример исследования устойчивости При устойчиво С необычайной чувствительностью определителя к возмущениям (например, к погрешностям округлений) связана чувствительность и собственных значений

M - оценка амплитуды L - характерное время (декремент затухания) Типичное поведение затухающих решений При в оценке решения Можно ли это считать устойчивостью? Если A – NxN матрица то И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, 1958 г. 8

Теорема Островского (о непрерывной зависимости ) Если все элементы матрицыи матрицы подчинены неравенствам то для каждого найдется такое что В нашем случае Пример теореме Островского не противоречит. Формальная непрерывность имеет место. 9

Определение-спектра принадлежит -спектру, если Спектральный портрет матрицы A 10

11

Спектральные портреты симплектических матриц Рассмотрим симплектическую матрицу вида: Матрицы С, S, P имеют следующую структуру: 12 Изучим поведение спектральных портретов при изменении параметра t

Спектральные портреты симплектических матриц 13

Еще один поучительный пример (к вопросу о расчёте собственных значений матриц) 14

Эксперимент: Эксперимент: Собственные числа матрицы С найденные с использованием пакетов MATLAB, MAPLE, SCILAB и библиотеки IMSL (стандартная двойная точность) 15

В действительности Точные значения : ВСЕ предыдущие примеры были вычислены с машинным представлением чисел с точностью. Если использовать машинное представление с точностью, то вычисленные будут отличаться от точных не более чем на 16 ε -спектр покрывает круг

При вычислениях с точностью, пакетом MAPLE были получены следующие собственные значения.

Резюме проведенного обсуждения Стоит ли заниматься расчетом ??? Нет гарантии, что их можно вычислить с приемлемой точностью. (речь идет о несимметричных матрицах ) ВОПРОС: Зачем в приложениях интересуются ??? ОТВЕТ: Часто требуется убедится, что или, что на прямой нет Предлагается решать более общий вопрос: Есть ли на той или иной кривой ? Если кривая не проходит через то всюду на этой кривой Для гладкой кривой конечной длины при этом 18

Удобно критерий отсутствия на кривой формулировать как Для кривых конечной длины предполагается, что Важное неравенство Критерий дихотомии спектра кривой Дихотомия спектра 19

a Спектральные зоны – полосы содержащие точки спектра Одномерный спектральный портрет 20 - числовая функция от матрицы критерий дихотомии спектрапрямой

Одномерный радиальный спектральный портрет критерий дихотомии спектраокружностью 21

Алгоритм анализа радиальной дихотомии спектра находимиз систем: после чего вычисляем Если то 22

Если то 23 - критерий дихотомии спектраокружностью Дискретное уравнение Ляпунова (обобщение): Оценки:

1) исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение Критерий устойчивости: ? Универсальная оценка Н -- матрица Ляпунова – решения матричного уравнения Исследование устойчивости (по Ляпунову) 24 Дихотомия спектрапрямой имеет место, если существует матрица Грина при

Дихотомия прямой 25 Дихотомия спектрапрямой имеет место, если существует матрица Грина при Критерий дихотомии

Эта матрица удовлетворяет матричным уравнениям Для убывающих при решений векторного уравнения Справедливы оценки 26

Сходится ли итерационный процесс к решению системы ? Критерий сходимости: Н -- матрица решения дискретного матричного уравнения Ляпунова 27

В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить Постулат: Только такие числовые функцииот матрицы можно вычислять, для которых справедливо неравенство в котором- известная функция При этом условии, знаяи точность можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной Критерий дихотомии удовлетворяет этому постулату 28

Одномерный радиальный спектральный портрет Мы показали как рассчитать и следовательно как нарисовать этот спектральный портрет Портреты дихотомии прямыми рассчитываются аналогично

APPLICATION OF NEW MATHEMATICAL TOOL ONE-DIMENTIONAL SPECTRAL PORTRAITS OF MATRIX TO THE PROBLEM OF AEROELASTICITY VIBRATION Godunov S.KNovosibirsk Kurzin V.B.Novosibirsk Bunkov V.G.Jukovskii Sadkane M.Brest (France) Из доклада, прочитанного на конференции по аэроупругости (Москва, октябрь 2006) 30

The simple flatter model Without the aerodynamic effect: Modeling of aerodynamic effects (v is the flow velocity) 31

32

33

The same example V 34

Упорядоченная последовательность букв Рассмотрим 6 букв алфавита:а б и п р т Рассмотрим большую (периодическую) последовательность букв: …ритатипбратарбатпиратритатипбратарбат… В этой последовательности: за буквой а следует 1 раз за период буква р и 4 раза буква т, за буквой б 1 раз следует буква а и 1 раз буква р… Таблица вероятностей следования букв

Этой последовательности соответствует матрица: Можно рассмотреть 32 буквы алфавита и любые длинные тексты, написанные с их помощью. Например, произведения разных писателей. Каждому произведению аналогичным способом сопоставляется 32х32 матрица. Можно ли идентифицировать писателя по спектральному портрету такой матрицы ? Упорядоченная последовательность букв

Характерные двумерные спектральные портреты писателей

Граница хаусдорфова множества 38 Л. Толстой А. Чехов

Литература

Спасибо за внимание !