ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-8

Линейным ДУ (любого порядка) называется такое уравнение, в которое искомая функция у и её производные входят в первых степенях, т.е. имеет вид: 10. Линейные однородные ДУ

f(x)- свободный член уравнения Если f(x)=0, то ДУ называется однородным; Если f(x)0, то ДУ называется неоднородным.

Это такое уравнение, которое содержит в первой степени и коэффициенты при них- постоянные величины. 11. Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами (*)

Теорема 1. Если функция у=у 1 – решение уравнения (*), то у=ау 1, где а=const, также будет решением этого уравнения.

Теорема 2. Если функция у=у 1 и у=у 2 – решения уравнения (*), то и функция у=у 1 +у 2 также является решением этого уравнения. При этом у 1 и у 2 называются линейно независимыми частными решениями.

Две функции у 1 и у 2 называются линейно зависимыми, если одна из них может быть получена умножением другой на какой- нибудь постоянный множитель; в противном случае частные решения называются линейно независимыми.

Пример 1. Например,и -линейно независимые функции, так как Например,и -линейно зависимые функции, так как

Теорема 3. Если у=у 1 и у=у 2 – линейно независимые частные решения уравнения (*), то общее решение его будет у=С 1 у 1 +С 2 у 2, где С 1 и С 2 - произвольные постоянные величины.

Итак, для того, чтобы найти общее решение уравнения, имеющее вид, нужно найти два линейно независимых частных решения у 1 и у 2. Л. Эйлер предложил искать частное решение данного ДУ в виде

Чтобы найти значение к, при котором окажется решением ДУ, нужно подставить функцию и её производные в это уравнение: Тогда

Уравнение вида называется характеристическим уравнением для данного ДУ. Чтобы получить характеристическое уравнение, достаточно заменить

При решении квадратного уравнения могут получиться корни следующих видов: 1) действительные и различные (D>0) 2) действительные и равные (D=0) 3) комплексные (D

1. Корни действительные и различные (D>0). Частными линейно независимыми решениями ДУ будут функции:

Пример 2. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения Ответ. Общее решение:

Пример 3. Решить задачу Коши: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения

Найдём С 1 и С 2 : Общее решение: Ответ. Частное решение:

2. Корни действительные и равные (D=0). Частными линейно независимыми решениями ДУ будут функции:

Пример 4. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения Ответ. Общее решение: или

Пример 5. Решить задачу Коши: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения общее решение:

Найдём С 1 и С 2 : Общее решение: Ответ. Частное решение: или

3. Корни комплексные (D

Пример 6. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения Ответ. Общее решение:

Пример 7. Решить задачу Коши: Решение. Характеристическое уравнение: частные линейно независимые решения

Найдём С 1 и С 2 : Общее решение: Ответ. Частное решение:

ДУ Характеристическое уравнение Дискриминант D > 0D = 0D < 0 Корни характеристического уравнения k 1 k 2 k 1 = k 2 k 1 = a + bi k 2 = a - bi Линейно независимые частные решения Общее решение ДУ