Л АБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 Тема: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

1. П ОСТАНОВКА ЗАДАЧИ К ОШИ Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка называется уравнение (1) которое связывает независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решить дифференциальное уравнение (1) – это значит найти функции, которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений в определенном конечном или бесконечном интервале. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка имеет вид: где произвольные постоянные, частный выбор которых дает частное решение. В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям по которым определяются постоянных. 2

2. М ЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Методы решения дифференциальных уравнений можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным методам относятся методы, позволяющие найти решение дифференциального уравнения через элементарные функции, либо представить его при помощи квадратур от элементарных функций. Точные методы изучаются в курсе дифференциальных уравнений. Однако классы уравнений, к которым применимы точные методы, достаточно узки и охватывают малую часть возникающих на практике задач. К приближенным методам относятся методы, в которых решение получается как предел некоторой последовательности функций, причем каждый член этой последовательности выражается через элементарные функции или при помощи квадратур. Эти методы удобны лишь в том случае, когда большую часть выкладок удается сделать точно, но это выполнимо лишь для сравнительно простых задач. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомой функции на некотором конечном множестве точек. Решение при этом получается в виде таблицы. Численные методы не позволяют найти общее решение уравнения (1). С их помощью можно найти лишь частное решение. Но они применимы к широким классам уравнений и всем типам задач для них. Численные методы применяют к задачам, имеющим единственное решение (корректно поставленным) и хорошо обусловленным (устойчивым). В хорошо обусловленной задаче малые изменения в задании исходных данных приводят к достаточно малым изменениям искомого решения. 3

Рассмотрим пример плохо обусловленной задачи: Общее решение дифференциального уравнения имеет вид. Из начального условия определяем, тогда. Изменим начальное условие: пусть. Постоянная, а, т.е. малое изменение начального условия привело к сильному изменению решения. Рассматриваемая задача является плохо обусловленной. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной (2) Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество:. График решения называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция, при любом значении произвольной постоянной. Функции такого вида образуют семейство кривых (рис. 1). 4

Задача Коши для дифференциального уравнения (2) состоит в нахождении решения, удовлетворяющего начальному условию (3) Соответствующее решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее условию (3), называется частным решением. Частному решению соответствует та из семейства интегральных кривых, которая проходит через точку, координаты которой называются начальными данными. Общепринятый подход нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения на компьютере заключается в дискретизации задачи. Это означает, что искомая функция ищется только в конечном числе дискретных точек (узлов сетки), а не на всем непрерывном отрезке. При этом полагают,. Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить таблицу приближенных значений решения, причем начальное условие выполняется точно. 5

3. М ЕТОД Э ЙЛЕРА Рассмотрим задачу Коши: (4) (5) На отрезке выберем конечное множество точек : В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формуле где. При этом искомая интегральная кривая, прохо- дящая через точку, заменяется ломаной с вершинами. Каждое звено ломаной имеет направление, совпадающее с направлением интегральной кривой (4), которая проходит через точку. Поэтому метод Эйлера часто называют методом ломаных. Если функция непрерывна и ограничена вместе со своими первыми производными, т.е. для,, то имеет место неравенство (6) где 6

Оценка (6) имеет лишь теоретическое значение. На практике чаще пользуются двойным пересчетом: расчет на отрезке повторяют с шагом, и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают по следующей формуле: 7

4. М ЕТОД Э ЙЛЕРА -К ОШИ Пусть требуется найти решение задачи Коши: На отрезке зададим конечное множество точек. По методу Эйлера-Коши вычисление приближенного решения проводится по следующей формуле (7) Остаточный член на каждом шаге в методе Эйлера-Коши имеет порядок. Оценка погрешности может быть получена с помощью двойного пересчета: расчет повторяют с шагом, и погрешность более точного решения (при шаге ) оценивают приближенно: 8

Пример 1. Применяя метод Эйлера-Коши, решить дифференциаль- ное уравнение с начальным условием на отрезке с шагом. Результаты сравнить с точным решением. Решение. Вычисления по формуле (7) удобно осуществлять в следующей последовательности: Результаты вычислений приведены в таблице 1. Таблица 1 9

5. М ЕТОД Р УНГЕ -К УТТА Рассмотрим задачу Коши на отрезке для дифференциального уравнения (8) с начальным условием (9) Будем искать значение приближенного решения этой задачи лишь в фиксированных точках данного отрезка. Выбранные узловые точки будем считать равноотстоящими: Метод Рунге-Кутта, как метод Эйлера, – одношаговый метод, который позволяет найти приближенное значение решения заданной задачи в узле по информации об этом решении лишь в одной предыдущей узловой точке. Обозначим через прибли- женное значение искомого решения в точке. 10

Рассмотрим метод типа Рунге-Кутта четвертого порядка точности, который является одним из самых распространенных методов решения задач с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений. Данный метод описывается следующими шестью соотношениями: Порядком (или степенью) точности метода типа Рунге-Кутта называют такое число, для которого погрешность приближенного равенства будет величиной порядка. 11

Вычисления удобно располагать по схеме, указанной в таблице 2. Таблица 2 При однократном использовании метода значения функции необходимо вычислять четыре раза с аргументами и, и и, и. Шаг сетки можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага вычисляют дробь Величина не должна превышать нескольких сотых, в противном случае шаг следует уменьшить. В практике для контроля вычислений применяют двойной пересчет, т.е. сначала вычисляют решение с шагом, затем с шагом. В заданных точках прибли- женные решения должны совпасть в пределах заданной точности. 12

Пример 2. Методом Рунге-Кутта найти решение уравнения с начальным условием на отрезке, приняв шаг. Результаты вычислений и решение приведены в таблице 3. Таблица 3 13

З АДАНИЕ 6 Тема: Численное решение задачи Коши 1. Применяя методы Эйлера и Эйлера-Коши, численно решить следующие дифференциальные уравнения с данными начальными условиями на отрезке с шагом при указанных значениях параметров. 2. Найти точное решение. Нарисовать графики найденных решений. Сравнить результаты численного и аналитического решений. 3. Найти решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта на отрезке при заданных начальных условиях с указанным шагом. Оценить погрешности полученных численных решений по трем методам. 14