Тема: Теория погрешностей

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Выделяют три вида погрешностей: 1. Неустранимая погрешность – эта погрешность связана с ошибками в исходной информации. Причинами этих ошибок могут быть, например, неточность измерений, невозможность представления некоторой величины конечной дробью. 2. Погрешность метода связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную – разностью, функцию – многочленом или строят бесконечный итерационный процесс, который обрывают после конечного числа итераций. 3. Погрешность вычислений возникает при округлении промежуточных и конечных результатов. 2

Пусть – точное значение величины, а – ее приближенное значение. Абсолютной погрешностью числа называется наименьшая величина, удовлетворяющая условию, т.е. точное значение величины лежит в интервале. Относительной погрешностью называется величина, удовлетворяющая условию или. Относительную погрешность часто выражают в процентах. Для этого необходимо величину умножить на 100%. 3

4 Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева, например: 1) - все цифры значащие; 2) – значащие только ; первые три нуля незначащие, т.к. они служат вспомогательной цели – определению положения цифр, поэтому может быть принята запись ; 3) и. В первой записи все семь цифр (и последние четыре нуля) значащие, во второй – значащие только. Верные значащие цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 1. Пусть и известно, что. Определить число верных значащих цифр у числа. Имеем: ; и. Значит, у числа верные знаки а и – сомнительные. Пример 2. Определить число верных значащих цифр у числа. Пусть и. Так как, то у числа три знака после запятой верные. 5

При записи чисел руководствуются следующим правилом: все значащие цифры должны быть верными. Поэтому округление чисел, записанных в десятичной системе, производится по правилу первой отбрасываемой цифры: если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения; если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу; если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу; если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней, – нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если – четная. Примеры. Округлить числа: 1) 1,25371,25, m=3 – количество верных значащих цифр; 2) 1,25631,26, m=3; 3) 2,365662,37, m=3; 4) 2,6652,66, m=3, 6-четная; 2,6352,64, m=3, 3-нечетная. 6

Оценить погрешность вычисления значений функции по заданной погрешности аргументов. Пусть - непрерывно дифференцируемая функция, где ; - приближенные значения аргументов, ; - абсолютные погрешности аргументов. Тогда абсолютная погрешность вычисления значения функции в точке равна (1.1) Относительная погрешность значения в точке равна (1.2) 7

Погрешность суммы. Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел. Пусть, тогда (1.3) Погрешность разности. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Пусть, тогда (1.4) Погрешность произведения. Пусть, известны и,, тогда абсолютная погрешность произведения вычисляется по формуле (1.5) 8

Погрешность частного. Пусть. Очевидно, что (1.6) Из формул (1.3) – (1.6) выводятся формулы для соответствующих относительных погрешностей : 9

а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого значения. б) Определить число верных знаков в результате. Решение. а) приближенные значения исходных данных:,,. Абсолютные погрешности исходных данных:,. Относительные погрешности исходных данных: 10

Порядок выполняемых операций: 11

б) Для определения числа верных знаков воспользуемся определением и оценкой (1.1) для абсолютной погрешности функции. Таким образом, По определению числа верных знаков, Ответ: число верных знаков и 12

Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Для функции одной переменной абсолютную погрешность можно приближенно вычислить по формуле Для функции нескольких переменных : если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т.е. считают, что все слагаемые, равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой 13

Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с верными значащими цифрами. Решение. Находим (полагаем первые цифр верными). Согласно определению -верного знака, абсолютная погрешность 14

Исходим из того, что Для использования принципа равных влияний считаем, что все слагаемые, равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой: Находим 15

Тема: Погрешность 1. Определить, какое равенство точнее. 2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки. 3. Найти абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры. 4. а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого значения (прямая задача). б) Определить число верных знаков в результате. 5. Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с верными значащими цифрами (обратная задача). 16