1 В.В.Белецкий, А.В.Родников Об устойчивости треугольных точек либрации в обобщенной ограниченной круговой задаче трёх тел

2 I. Постановка задачи Безразмерные параметры Безразмерные переменные и время Классическая задача:

3 II. Треугольные точки либрации Координаты Условия существованияЧастные случаи

4 II. Треугольные точки либрации Условия существования Частные случаи Альтернативные параметры

5 III. Уравнения в вариациях Коэффициенты a,b,c,d,e,f имеют значения

6 IV. Характеристическое уравнение Выражение, стоящее в скобках, совпадает с левой частью условия существования треугольных точек либрации

7 V. Некоторые общие замечания (*)

8 VI. О решении уравнения третьей степени Для решения алгебраического уравнения третьей степени нужно сначала заменой переменных привести это уравнение к виду Затем вычислить дискриминант Уравнение (*) имеет три различных действительных корня, если Для этого необходимо (но не достаточно) выполнение условия В нашем случае после замены получим (**)

9 VII.Необходимое условие устойчивости Заметим также, что для того, чтобы все корни уравнения (*) были действительными и неположительными необходимо, чтобы все точки экстремумов функции, стоящей левой части (**) располагались левее точки что гарантируется выполнением условия Таким образом, для того, чтобы (*) имело три различных действительных корня необходимо (но не достаточно) выполнение условий Невыполнение этого условия гарантирует неустойчивость Полученное условие не противоречит условию устойчивости в классической задаче, т. к. в случае получим

10 VII.Необходимое условие устойчивости Область допустимых значений А 2,А 0 неуст ??

11 VII.Необходимое условие устойчивости Неуст. неуст ??? кривая Область ABC существует, если кривая Область DE существует, если кривая

12 VII.Необходимое условие устойчивости Неуст. неуст ??? кривая Область ABC существует, если кривая Область DE существует, если кривая Неуст.

13 VIII. Полные условия устойчивости в линейном приближении

14 VIII. Полные условия устойчивости в линейном приближении Условия устойчивости Замечание 1.Последнее из условий устойчивости фактически совпадает с условием существования треугольных точек либрации, за исключением пограничной ситуации А 2 =0. Замечание 2.Оставшиеся пограничные ситуации требуют дополнительного исследования. Условия неустойчивости Условия устойчивости в явном виде

15 IX. Область устойчивости в параметрах А 2,А 0. Условия устойчивости Неуст. Уст. Неуст. Замечание 1. Координаты точки С подтверждают необходимое условие устойчивости. Замечание 2. Задача еще не решена, т.к. значения А 2 и А 0 не могут быть выбраны произвольно

16 IX. Область устойчивости в параметрах А 2,А 0. Условия устойчивости Область допустимых значений А 2,А 0 Такие диаграммы наглядны, но неудобны, так как каждой точке на них соответствует, вообще говоря, континуальный набор значений параметров задачи Уст. Неуст.

17 IX. Область устойчивости в параметрах А 2,А 0. Условия устойчивости Уст. Неуст. Уст.

18 IX. Область устойчивости в параметрах А 2,А 0. Условия устойчивости Область допустимых значений А 2,А 0 Уст. Неуст. Такие диаграммы наглядны, но неудобны, так как каждой точке на них соответствует, вообще говоря, континуальный набор значений параметров задачи

19 Условие существования треугольных точек либрации X. Плоская обобщенная задача Классическая задача Характеристическое уравнение Условие устойчивости Неуст. Уст. Замечание 1.Этой диаграмме в плоскости параметров (А 2,А 0 ) соот- ветствует отрезок прямой А 0 =А 2 1, заключенный между точками D и F. Замечание 2. Всей границе области устойчивости соответствует одна точка на плоскости (А 2,А 0 ) - точка G

20 XI. Линии уровня на плоскости А 2, А 0 I – линия уровня не покидает область устойчивости I

21 XI. Линии уровня на плоскости А 2, А 0 II – линия уровня при увеличении снача- ла покидает область устойчивости, потом возвращается в нее II

22 XI. Линии уровня на плоскости А 2, А 0 III III – линия уровня, при увеличении покинув область устойчивости, уже в нее не возвращается

23 XI. Линии уровня на плоскости А 2, А 0 Граница областей I и II

24 XI. Линии уровня на плоскости А 2, А 0 Граница областей II и III

25 XI. Линии уровня на плоскости А 2, А 0 1. Если то треугольные точки либрации устойчивы при любых допустимых значениях параметров и. 2. Для каждого фиксированного значения угла нутации найдется такое значение, что треугольные точки либрации будут устойчивы при 0< и любых допустимых значениях угловой скорости прецессии (т.е.при любых допустимых ). При этом если стремится к предельным значениям 0 или, стремится к 1/4. 3. Каковы бы ни были угол нутации и соотношение масс на концах гантели, всегда найдутся значения угловой скорости прецессии, при которых треугольные точки либрации устойчивы

26 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Неуст. Уст. Кривая АВ: Кривая СD: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием В случае Точки В и С сливаются В этом случае

27 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Неуст. Уст. Кривая АВ: Кривая СD: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием В случае Точки В и С сливаются В этом случае Неуст. Уст.

28 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Неуст. Уст. Кривая АВ: Кривая СD: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием В случае Точки В и С сливаются В этом случае Неуст. Уст.

29 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Неуст. Уст. Кривая АВ: Кривая СD: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием В случае Точки В и С сливаются В этом случае Неуст. Уст.

30 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Кривая АВ: Кривая СВ: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием Если область устой- чивости вырождается в лома- ную, соединяющую точки Уст. Неуст.

31 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Кривая АВ: Кривая СВ: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием Если область устой- чивости вырождается в лома- ную, соединяющую точки Уст. Неуст. Уст.

32 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Кривая АВ: Кривая СВ: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием Если область устой- чивости вырождается в лома- ную, соединяющую точки Уст. Неуст. Уст.

33 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Кривая АВ: Кривая СВ: Пунктирная линия - граница, определяемая необходимым условием Если область устой- чивости вырождается в лома- ную, соединяющую точки Уст. Неуст. Уст.

34 XII. Область устойчивости в параметрах u,q. Величины и являются корнями уравнения четвертой степени:

35 XIII. Область устойчивости в плоскости,u. Уст. Неуст.

36 Неуст. XIII. Область устойчивости в плоскости,u. Уст. Неуст. Уст.

37 Условие существования точек либрации Уравнение границы Пунктирная линия - граница, определяемаянеобходимым условием Уст Неуст. Уст. XIV. Случай симметричной гантели

38 Условие существования точек либрации Уравнение границы Пунктирная линия - граница, определяемаянеобходимым условием Уст Неуст. Уст. XIV. Случай симметричной гантели Неуст.Уст.

39 Условие существования точек либрации Уравнение границы Пунктирная линия - граница, определяемаянеобходимым условием Уст Неуст. Уст. XIV. Случай симметричной гантели Уст. Неуст.

40 XV. Область устойчивости в плоскости u,q. Уст. Неуст. u q q q q u u u

41 XV. Область устойчивости в плоскости u,q. Уст. Неуст. u q q q q u u u E E Еслиобласть устойчивости вырождается в ломаную, соединяю- щую точки (0:0), (0,1/4), (4/3;1/4)