1 О ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ СФЕРЕ ДОМИНИРУЮЩЕГО ВЛИЯНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ СЖАТИЯ ПЛАНЕТЫ НАД ВОЗМУЩЕНИЯМИ ОТ ВНЕШНИХ ТЕЛ И УСЛОВИЯХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОРБИТЫ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ПЛАНЕТЫ Виктория И. Прохоренко Институт космических исследований РАН Семинар «Механика, управление, информатика» 11 декабря 2008, Таруса

2 Введение Идея отыскания верхней границы области, в которой гравитационные возмущения, обусловленные сжатием планеты, превалируют над возмущениями от третьего тела, возникла в процессе практической работы, связанной с качественным анализом орбит ИСЗ, целью которой является выбор долгоживущих орбит ИСЗ.

3 Модель движения спутника Будем рассматривать движение спутника P 0 пренебрежимо малой массы в нецентральном поле тяготения планеты P массы m под влиянием гравитационных возмущений со стороны третьего тела P 1 массы m 1. Точки P и P 1 движутся по почти круговым орбитам вокруг общего барицентра.

4 Возмущающая функция Обозначения: r 0 - экваториальный радиус планеты, J 2 – коэффициент при второй зональной гармонике (J 2 = - c 20 ), n 1 и n - средние движения возмущающего тела и спутника; – произведение гравитационной постоянной на массу планеты Здесь используются стандартные Кеплеровы элементы: a, i,,, вместо эксцентриситета e используется параметр = 1-e 2. Наклонение i измеряется относительно плоскости орбиты возмущающего тела, а i eq – относительно плоскости экватора планеты, аргумент перицентра измеряется в плоскости орбиты спутника от восходящего узла на плоскости орбиты возмущающего тела. (1) (2) Коэффициенты: Воспользуемся полученной М.Л. Лидовым ([1], 1963) двукратно-осредненной возмущающей функцией, описывающей совместное влияние сжатия планеты и третьего тела и состоящей из двух слагаемых. Первое слагаемое соответствует возмущающей функции эллиптической ограниченной задачи трёх тел, второе - возмущающей функции первого порядка от сжатия планеты

5 Параметр, характеризующий отношение возмущающего ускорения от сжатия планеты к возмущающему ускорению от третьего тела. Радиус d сферы (3) (4) При a = d выполняется соотношение = 1/ = 1. При d < a малый параметр -, а при a < d малый параметр - 1/ из этого следует, что d является радиусом искомой сферы. Введем обозначение: тогда (5)(5)

6 Учет возмущений от k тел Для расчета радиуса d сферы, внутри которой гравитационные возмущения от сжатия планеты превалируют над суммарными возмущениями от k тел, находящихся на компланарных орбитах, можно использовать следующую формулу: где d i – радиусы d- сфер, полученные при учете возмущений от каждого из k тел в отдельности

7 Значения радиусов d сфер для систем трех тел: Земля – Солнце – ИСЗ, Земля – Луна – ИСЗ, а также для системы четырех тел (последняя строка таблицы) Возмущающее тело Радиус d сферы k Большая полуось орбиты км 3 / c кмa/ R E 10 3 кмd/REd/RE Солнце Луна Луна, Солнце r 0 = км, J 2 = , = км 3 /c 2, а.е. = км, R E = км. Используемые здесь и далее численные значения констант почерпнуты из Сборника [2] «Динамика спутников планет» под редакцией Е.П. Аксенова и информационного справочника [3] Уральской В.С. «Естественные спутники планет»

8 Значения радиусов d-сфер, внутри которых возмущающие ускорения от сжатия планеты превосходят возмущающие ускорения от Солнца ( 1 = км 3 /с 2 ) Планета Большая полуось орбиты Радиус d сферы J2J2 r0r0 Средний радиус км 3 /с 2 км 10 3 км d/R P Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун

9 Значения радиусов d-сфер для Юпитера, рассчитанные при использовании в качестве возмущающих тел Солнца и каждого из Галилеевых спутников отдельно, а также значение радиуса сферы (d ), полученное при учете суммарного возмущения от системы этих тел (последняя строка таблицы) Возмущающее тело Радиус d сферы k Большая полуось орбиты км 3 / sec кма.е.а.е. d/RJd/RJ Солнце Каллисто Ганимед Европа Ио тел

10 Сопоставление радиусов d – сфер с известной классификацией естественных спутников планет по доминирующему возмущающему фактору, влияющему на их орбиты Сравнение полученных значений радиусов d – сфер со значениями больших полуосей орбит всех спутников планет, для которых, согласно классификации В.М. Чепуровой ([4], 1991), основным является возмущение от сжатия планеты, показывает, что во всех случаях значения больших полуосей спутников не превосходят значений радиусов d - сфер соответствующих планет. Будем считать этот факт первым тестом на жизнеспособность d – сферы. А теперь попробуем извлечь из этого понятия определенную пользу.

11 Параметрический анализ условий пересечения орбит спутников с поверхностью планеты радиуса R при = 0 и свободных значениях параметров: a 0 >R, 0

12 Многообразия I, II, III начальных условий, приводящих (или не приводящих) к пересечению орбиты спутника с поверхностью центрального тела радиуса R В работе автора ([8], 2007) получены неравенства, определяющие многообразия I, II, III начальных условий, приводящих (или не приводящих) к пересечению орбит спутников с поверхностью центрального тела радиуса R, для интегрируемых эволюционных уравнений спутникового варианта двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел, полученных Лидовым в работе ([5], 1961). На следующих слайдах показано графическое представление соответствующих многообразий.

13 Многообразие I При a 0 /R>1, 0 > *(a 0 /R) орбиты спутников пересекают поверхность центрального тела радиуса R при начальных значениях i 0, удовлетворяющих неравенству: cos 2 i 0 < (3/5) *(a 0 /R), при любых начальных значениях остальных орбитальных элементов. а) б) I а) Зависимость значений * от a 0 /R б) Многообразие I значений (i 0, a 0 /R), удовлетворяющих приведенному выше неравенству

14 Многообразия II, III При a 0 /R>1, *(a 0 /R) < 0

15 Многообразия I, II и III на плоскости (a 0 /R, 0 ), соответствующие значению i 0 =70 III: cos 2 i 0 > (3/5) *, * < 0 (i 0, *) I: cos 2 i 0 < (3/5) *(a 0 /R) II: cos 2 i 0 >(3/5) *, (i 0, *) < 0

16 Положение на плоскости (a 0 /R, 0 ) границ многообразий I, II и III при различных значениях i 0 от до 82 (а) Многообразия I, II и III при i 0 =30 (б) i 0 =82 (в) б) а) в)

17 Фазовые портреты интегральных кривых на плоскости (, mod 360 ) при i 0 =70 и различных значениях *, 0, определяющих различные многообразия (I, II, III) I III Окружности радиуса 0 показаны утолщенной линией. Окружности радиуса * - красной штриховой линией. На рис. I * = 0.23, на рис. II и III *= II

18 Радиусы d-сфер, выраженные через радиусы планет, для шести планет Солнечной системы, показанные на фоне границ, разделяющих многообразия I, II и III в ограниченной задаче трех тел при разных значениях параметра i 0.

19 Фазовые портреты интегральных кривых в интегрируемой задаче, соответствующей значению =0 при значениях c 1 (0,1) c 1 = 0, i 0 =90 0

20 Исследование одного интегрируемого решения эволюционных уравнений, описывающих совместное влияние сжатия планеты и третьего тела, полученного М.Л. Лидовым и В.Я. Ярской ([6], 1974) i 0 = 90, sin 2 0 = 1 (в этом случае c 1 =0, a i eq 0 = 90 ) при 0 < 4/5 имеются следующие особые точки: седловые особые точки : = 1, sin 2 =2/5- /2, особые точки типа центр : = (5/4 ) 2/5, sin 2 =0 (см. следующий слайд).

21 а) б) в)г) Фазовые портреты интегральных кривых на плоскости (, mod 360 ) при i 0 =90, c 1 = 0 и различных значениях : а) = 0, б) = 0.15, в) = 0.6, г) = 1 Красным цветом показаны окружности, соответствующие значениям *(, d/R) при d/R =5.5 (см. следующий слайд)

22 Для перехода от значений к значениям большой полуоси a воспользуемся выражением для параметра через радиус d-сферы, а для расчета * его выражением через a и радиус планеты R * (a/R) = (2a/R-1)/(a/R) 2.

23 Многообразия I, II и III на плоскости (a 0 /R, 0 ) при i 0 =90, sin 2 0 =1 для планеты Земля при учете гравитационных возмущений от Солнца и Луны

24 Многообразия I, II и III на плоскости (a 0 /R, 0 ) при i 0 =90, sin 2 0 =1 для планеты Марс при учете гравитационных возмущений от Солнца

25 Многообразия I, II и III на плоскости (a 0 /R, 0 ) при i 0 =90, sin 2 0 =1 для планеты Юпитер при учете гравитационных возмущений от Солнца

26 Заключение Заметим в заключение, что задача о влияния сжатия недаром многими авторами признается главной задачей в теории движения спутников. В этой задаче нет того единообразия, которое свойственно ограниченной двукратно- осредненной задаче трех тел, поэтому при учете гравитационных возмущений от сжатия такой же полноты анализ сделать будет не так просто даже для известных интегрируемых случаев.

27 Литература 1.Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников // Сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Москва ноября М: Астрономический Совет АН СССР, С Динамика спутников планет. Под редакцией Е.П. Аксенова // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. М.:ВИНИТИ, Т Уральская В.С. Естественные спутники планет (информационный справочник). ГАИШ МГУ, 4.Чепурова В.М. Классификация спутников по действующим на них возмущениям // Сб. Динамика спутников планет // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. М.:ВИНИТИ, Т. 35. С Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Сб. Искусственные спутники Земли С Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты // Космические Исследования XII. 2. с Прохоренко В.И. Долговременная эволюция орбит ИСЗ под влиянием гравитационных возмущений, обусловленных сжатием Земли, с учетом возмущений от внешних тел // Изв. Вузов. Физика. Издание ТГУ Приложение. С Прохоренко В.И. Об условиях пересечения орбиты спутника с поверхностью центрального тела конечного радиуса в двукратно осредненной ограниченной задаче трех тел // Труды МИАН РАН, Т С