Локально-оптимальные межорбитальные перелеты с малой тягой А. Суханов ИКИ РАН 29 ноября 2007 г.

Основные допущения и постановка задачи 1.Движение КА происходит вблизи планеты (сила тяготения >> силы тяги) 2.Планета притягивает как материальная точка 3.Малая тяга является идеально регулируемой 4.Электрическая мощность малой тяги постоянна гравитационный параметр x вектор состояния вектор тяги, T время перелета Уравнение движения:Обозначения: Минимизируемый функционал: Задача: Найти такую траекторию перелета с малой тягой между двумя заданными орбитами за заданное время, на которой достигается min J

Описание метода Функция Гамильтона: p = {p r, p v } вектор сопряженных переменных p v базис-вектор Лоудена max H: = p v сопряженное уравнение в вариациях общее решение сопряженного уравнения в вариациях = const условие трансверсальности, = const Требуется найти y к, векторы состояния начальной орбиты, задан вектор состояния конечной орбиты, не задан

Описание метода: близкие орбиты матрица изохронных производных Матрицы F, вычисляются на начальной орбите вычисляется аналитически вектор состояния траектории перелета матрица 5 6

Интервал времени перелета разбивается на n подынтервалов Между начальной и конечной орбитами задаются n 1 опорных кеплеровских орбит с элементами q 1, …, q n 1 ; например, Описание метода: произвольные орбиты Предложенный подход применяется к каждому подынтервалу

Описание метода: произвольные орбиты Элементы опорных орбит находятся из условия min J

Вычислительная процедура Пусть заданы q 0, q к, T 1.Задаются моменты времени 0 < t 1 < … < t n 1 < T и n 1 опорных кеплеровских орбит с элементами q 1, …, q n 1 Задается некоторое положение на начальной орбите и определяется соответствующий вектор состояния y 0 (0) начала траектории перелета 2.Для j = 1, …, n вычисляются матрицы S j, W j 3.Вычисляется вектор и векторы q j. Затем находятся новые опорные орбиты и вычисляется функционал J 4.По найденному из условий трансверсальности вектору состояния y к (Т) конца траектории перелета на конечной орбите шаги 2, 3 повторяются в обратном направлении (т.е. от n-ой опорной орбиты к первой) и находится новое значение вектора y 0 (0) 5.Шаги 2 4 повторяются пока J > > 0 6.Вычисляются оптимальные вектор тяги и траектория перелета

Кое-что еще Частично заданная конечная орбита Пусть q к m-мерный вектор, m < 5. Размерность векторов q j также m и матрицы m 6 Если задан некоторый 6-мерный вектор элементов орбиты s, то в качестве решения сопряженного уравнения в вариациях может быть принята матрица Некоторое упрощение вычислений Пусть q m-мерный вектор (m 5), равный первым m компонентам вектора s W = {I, 0}, I единичная m-матрица, 0 нулевая матрица m (6 m) левая верхняя m-подматрица матрицы S

Ограничения на направление тяги Пусть задано ограничение Пример: тяга ортогональна радиусу-вектору r проективная матрица Примечание. Матрица невырожденна на любом интервале времени. Матрица Р вырожденна матрицы и могут быть плохо обусловленными на коротких интервалах времени.

О выборе системы элементов орбиты Система элементов орбиты q должна обеспечить невырожденность элементов и их производных на начальной, конечной и всех опорных орбитах Сходимость также зависит от системы элементов Наилучшие результаты: h постоянная энергии единичный вектор нормали к плоскости орбиты вектор Лапласа элементы двузначны по отношению к наклонению орбиты

Демонстрация метода

Перелет между орбитами с большим взаимным наклонением T = 800 ч. J = 23/09 м 2 /с 3 V = км/с

Перелет на орбиту Луны с низкой орбиты ИСЗ J = 4.45 м 2 /с 3, V = 7.15 км/сJ = 4.56 м 2 /с 3, V = 7.55 км/с T = 2000 ч.

Перелет на орбиту Луны с низкой орбиты ИСЗ «Глобальный» оптимум «Локальный» оптимум

J = 5.77 м 2 /с 3, V = 3.94 км/сJ = 6.43 м 2 /с 3, V = 3.97 км/с Перелет с ограничениями на направление тяги Нет ограниченийТяга ортогональна радиусу-вектору T = 400 ч.

Перелет с ограничениями на направление тяги Нет ограниченийТяга ортогональна радиусу-вектору

Итоги Метод не дает глобально оптимального решения Метод применим только к задаче двух тел Недостатки Достоинства Простота Применимость к существенно различным начальной и конечной орбитам Применимость в случае частично заданной конечной орбиты Возможность учета некоторых ограничений на направление тяги В большинстве случаев описанная вычислительная процедура сходится без дополнительных мер В сложных случаях для обеспечения сходимости достаточно уменьшить шаг (перелет с ограничениями на направление тяги) Сходимость

Конец Спасибо за внимание