Геометрическое исследование эволюции орбит ИСЗ, обусловленной сжатием Земли, с учетом гравитационных возмущений от внешних тел Виктория И. Прохоренко Институт Космических Исследований РАН ИКИ РАН, Семинар «Механика, Управление, Информатика», 24 ноября 2005

АННОТАЦИЯ Рассматривается задача исследования эволюции орбит ИСЗ под влиянием гравитационных возмущений как от внешних тел (Луна, Солнце), так и от нецентральности геопотенциала. Большое внимание уделяется одному из аспектов этой задачи - времени существования ИСЗ на этих орбитах. 2

ВВЕДЕНИЕ (1) Исследования основаны на использовании вековых эволюционных уравнений, полученных М.Л. Лидовым [1] в 1961 году путем двукратно осреднения возмущающей функции по среднему движению спутника и возмущающего тела. В этих уравнениях геопотенциал представлен второй зональной гармоникой, а возмущающая функция ограниченной задачи трех тел – главным членом разложения в ряд по a/a 1, где a и a 1 – большие полуоси орбит спутника и возмущающего тела. Эта задача имеет два первых интеграла: a = c 0 и W = c (W – осредненная возмущающая функция) и в общем случае не интегрируема. 3

ВВЕДЕНИЕ (2) Для параметрического исследования характера эволюции орбит ИСЗ в системе Земля – Луна (и Солнце) будем использовать параметр, характеризующий отношение возмущающего ускорения от нецентральности геопотенциала к возмущающему ускорению от третьего тела. В работе М.Л. Лидова и М.В. Ярской [2] 1963 года показано, что при малых значениях параметра (a) (обратно пропорционального значению a 5 ), задача сводится к интегрируемой двукратно осредненной ограниченной задаче трех тел. 4

ВВЕДЕНИЕ (3) Используя реальные динамические характеристики рассматриваемой системы, мы получили значение a = a 1 = 5.6 R E (35700 км), при котором (a) = 1 (R E = – средний радиус Земли). Граница a 1 условно делит область значений большой полуоси ИСЗ на две части: при a < a 1, 1/ (a) < 1 преимущественное влияние на эволюцию оказывает сжатие Земли, а в области a 1 < a, (a) < 1 эволюция орбитальных элементов происходит под преимущественным влиянием гравитационных возмущений от третьего тела. 5

ВВЕДЕНИЕ (4) В области a 1 < a условная граница a 3 ~ 10 R E (63700 км), выделяет область a 3 < a, в которой (a) < 0.05 является малым параметром, и в которой действует асимтотика, соответствующая задаче трех тел. В области a < a 1 - граница a 2 ~ 4.45 R E (28300 км), выделяет область a < a 2, где малым параметром является 1/ (a)

ВВЕДЕНИЕ (5) Для исследования эволюции орбит в области действия каждой из асимтотик применяется единый геометрический метод. Аналитические решения вековых уравнений первого порядка сопоставляются с численными решениями полной системы дифференциальных уравнений, в которой используется модель движения ИСЗ, учитывающая гравитационные возмущения от геопотенциала до 4-ой гармоники JGEMT2 и от Луны и Солнца, положение которых рассчитывается по теории Хилла-Брауна и Ньюкома соответственно. Наряду с методическими примерами рассматриваются орбиты с параметрами, близкими к параметрам орбит некоторых реальных объектов. На следующих слайдах приводится система эволюционных уравнений М.Л. Лидова и первые интегралы этой задачи. 7

Осредненная возмущающая функция Параметр (a), характеризующий отношение возмущающего ускорения от нецентральности геопотенциала к возмущающему ускорению от третьего тела Обозначения: a 0 - экваториальный радиус Земли, J 2 – коэффициент при второй зональной гармонике разложения гравитационного потенциала центрального тела по сферическим функциям, a, e, i,, - кеплеровские элементы, = 1-e 2 ;, 1 – произведение гравитационной постоянной на массу центрального и возмущающего тел; a 1, 1, - параметры орбиты возмущающего тела. Здесь и далее угловые элементы с индексом eq измеряются относительно экватора планеты, а без индекса - относительно орбиты возмущающего тел. 8 (1) (2)

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ 9 (3)(3) n – безразмерное время, I - наклон плоскости орбиты возмущающего тела к плоскости экватора планеты (4)(4)

Первые интегралы и функции 1, 2, 3, 10 Эволюционная система уравнений (3) имеет первые интегралы: a = c 0 и W = c. Введем следующие обозначения: Тогда интеграл W = c можно выразить в виде следующей линейной комбинации функций 1, 2, 3 (5) (8)(8) (6)(6) (7)(7)

I. Границы, выделяющие области с преимущественным влиянием на эволюцию угловых элементов каждого из факторов в отдельности: сжатия Земли, или возмущений от Луны и Солнца 11

Значения параметров (a) и 1/ (a) для системы Земля – Луна – Солнце и границы областей, в которых малыми являются параметр (a) либо 1/ (a) < / < 0.3 В области 1/ (a) < 0.3 (при a

II. Асимптотика, соответствующая преимущественному влиянию сжатия Земли на эволюцию угловых элементов, в области a< 4.45 R E (28300 км), (1/ (a)

Эволюция угловых элементов В рамках этой асимптотики может быть использовано решение осредненной задачи, учитывающей вековые возмущения первого порядка относительно J 2, впервые полученное в 1957 г Д.Е. Охоцимским, Т.М. Энеевым и Г.П. Таратыновой [3]. Эволюция угловых элементов eq, eq в соответствии с этим решением, носит монотонный характер и выражается следующими соотношениями, которые мы приводим в форме представленной в работе Проскурина и Батракова [4] (1960) Интеграл (8) мы перепишем в следующем виде (9)(9) 14 (10)

Эволюция параметра Для расчета эволюция параметра во всей области возможных значений параметра a будем использовать одно и то же уравнение, второе уравнение эволюционной системы (3). Из этого уравнения следует, что параметр достигает своих экстремальных значений при, лежащих на границах четвертей. При, проходящих через I и III четверти, убывает, а при, проходящих через II и IV, возрастает. Разница состоит только в законе изменения самого параметра в различных областях значений a. На следующих слайдах будут представлены формулы, выражающие закон изменения (t) в рамках рассматриваемой асимптотики. 15

Эволюция аргумента перигея, измеренного относительно плоскости эклиптики В соответствии с (9) зависимость от времени выражается соотношением (t) = 1 t + (( 2 t+ eq0 ), i eq ) + eq0, (11) где 1, 2 – угловые скорости эволюции элементов eq и eq соответственно, а формулы для ( eq, i eq,I) будут приведены на следующем слайде. Угловые скорости выражаются следующими соотношениями: где 16

Связь между угловыми элементами i eq, eq, eq отсчитанными относительно плоскости земного экватора, и элементами i,, отсчитанными относительно плоскости эклиптики Зависимость значений i, от i eq, eq и прямого восхождения восходящего узла eq определяется следующими соотношениями: cos i = cos eq sin i eq sin I + cos i eq cos I; i = i - i eq ; cos = (sin i eq cos I - cos eq cos i eq sin I) / sin i; sin = - sin I sin eq / sin i; = eq + где I = наклонение плоскости эклиптики к плоскости земного экватора. 17 (12)

Зависимость i и от eq при разных значениях i eq i = i eq + i(i eq, eq,I) = eq + (i eq, eq,I) Использованы значения i eq от 30 до 90 с шагом 20. Красные линии, соответствуют значению i eq = 90. Значения показаны пунктирной линией. 18 (13)

III. Параметрический анализ зависимости эволюции (t) от наклонения орбиты ИСЗ к плоскости земного экватора i eq 19

Зависимость от i eq безразмерных угловых скоростей и, эволюции элементов eq и eq На оси i eq и на кривых (i eq ) и (i eq ) кружочком отмечены точки, в которых = ; значком ? - точка, в которой =0, а звездочкой – точки, в которых = 0. = - cos i eq, = (5cos 2 i eq -1)/

Восемь интервалов в области значений параметра i eq, в которых имеют место различные соотношения между значениями угловых скоростей эволюции угловых элементов eq и eq под влиянием нецентральности геопотенциала Обл. Интервал значенийi eq Интервал / A ( ) (-2,-1) >0 0 A ( ) (1,2)(1,2) 21

Об особенностях эволюции ( ) и в зависимости от i eq0 Можно сформулировать следующее правило относительно особенностей эволюции ( ) в зависимости от знака угловой скорости эволюции eq : В случае отрицательного знака угловой скорости эволюции eq, (при i eq ) минимальное значение ( ) = min достигается в точках = 0 и 180. В случае же положительного знака этой угловой скорости (при i eq0 > 63.4 и i eq 0 < ) минимальное значение ( ) = min соответствует точкам = 90.

IV. О связи между эволюцией параметра и временем существования ИСЗ Прежде чем переходить к конкретному примеру, напомним сформулированный М.Л. Лидовым (1961) критерий соударения спутника с центральным телом конечного радиуса R

Критерий соударения спутника с центральным телом По оси X показано значение a в радиусах Земли (R E ) (1 a 25) По оси Y – значение (a, h p ) и * (a) 1.h p = 0, = * 2.h p = 600 km 3.h p = 1 R 4.h p = 2 R 5.h p = 3 R 24, * На рисунке показана зависимость (a, h p ) при разных значениях h p и *(a). Соударение спутника с центральным телом конечного радиуса R происходит при 0 h p (h p - высота перицентра орбиты спутника над поверхностью планеты. Выражение для = (1-e 2 ), как функции от a * =a/R E и h p и критическое значение *(a * ), соответствующее h p =0. = (2a * -1+2 h p (a * -1)- h p 2 )/a * 2 * = (2a * -1)/a * 2

V. Исследование характера эволюции на примере орбит с фиксированными значениями i eq0 = 90, h p0 = 600 km, a = km (4.47) R E и значениями eq0 и 0, соответствующими границам четвертей 25

Движение относительно границ четвертей при i eq0 = 90 eq < 0, eq = 0 = eq 26 I II III IV На рис. в области значений зеленым цветом отмечены II и IV четверти, которым соответствует возрастание следовательно Согласно соотношениям (14) По оси X показаны значения eq По оси Y – значения Стрелка показывает направление эволюции min = ( ) при = 0 (180 )

a (R E ) 0 i eq0 0 eq a km28510 h p0 км600 eq0 0 Эволюция орбиты при a =4.47 R E, i eq0 = 90, eq0 =0, 0 = соответствует точке минимума ( ) t = 64 года

a (R E ) 0 i eq0 0 eq a km28510 h p0 км600 eq0 265 i0i0 113 Эволюция орбиты при a =4.47 R E, i eq0 = 90, eq0 =180, 0 = соответствует точке максимума, его эволюция ведет к уменьшению и высоты перигея и заканчивается соударением спутника с Землей через 1.2 года

a (R E ) 0 i eq0 0 eq a km67400 h p0 км600 eq0 0 i0i0 67 Эволюция орбиты при i eq0 = 90, eq0 =0, 0 =0 a =10 R E 29 Расчет выполнен на интервале времеи 10 лет Эволюция носит либрационный характер

VI. Продолжение параметрического анализа эволюции (t) от i eq 30 Выбор в качестве начальной точки 0 точки минимума ( ) позволяет начинать эволюцию параметра с той четверти, в которой происходит возрастание (и hp0). Это условие является достаточным для того чтобы обеспечить возрастание высоты перицентра (не допустить ее потерю на начальном этапе). Дальнейшее развитие событий зависит от eq0, с помощью которого можно обеспечить более длительное суммарное время прохождения через четверти с четными (II или IV) по сравнению с временем его прохождением через четверти с нечетными номерами (I или III). В четвертях с четными номерами в происходит возрастание (вместе с возрастание высоты перицентра).

Движение относительно границ четвертей на одном периоде изменения eq при i eq = 73.15, 0 = 0, eq0 = 0 Вертикальными штрихпунктирными (сплошными) линиями отмечены значения eq, при которых eq ( ) пересекает границы четвертей I IV III II 31 Стрелки показывают направлениеизменения eq, Используем eq в качестве безразмерного времени. Будем следить за моментами прохождения функций ( eq ) через границы четвертей. Значение функции ( ) возрастает при прохождении через окрашенные четверти (VI, II) и убывает при прохождении через неокрашенные четверти (II, I). В зависимости от соотношения между временами пребывания в соседних четвертях суммарное изменение за это время может оказаться положительным, отрицательным или нулевым. = min ( ) при = 0 или180° eq / eq = -1; Сплошной (штрихпунктирной) линией показана эволюция ( eq )

Движение относительно границ четвертей на одном периоде eq при i eq = 73.15, 0 = 0 и при разных значениях параметра eq0 Сплошной (штрихпунктирной) линией показана эволюция ( eq ) I IV III II 32 min = ( ) = 0 (180 ) Стрелками показано направление эволюции eq и Зависимость времен прохождения через четверти от начального значения eq0. Эти значения задаются на всем диапазоне [-180, 180 ] с шагом 45.

Зависимость функции ( eq ) от наклонения i eq орбиты к плоскости земного экватора 1) i eq = 46.4, eq / eq = -1, = min при = 90 2) i eq = 63.4, eq / eq = 0 = min при = 0 3) i eq = 73.1, eq / eq = 1 = min при = 0,180 7) i eq = 133.6, eq / eq =1 = min при = 90 6) i eq = 116.6, eq / eq = 0 = min при = 180 5) i eq = 106.9, eq / eq = -1 = min при = 0,180 4) i eq = 90, eq / eq = 33

Зависимость эволюции орбит от начальных значений угловых элементов при фиксированном значении a = 4.47 R E и параметра 0 = 0.43 i eq0 = 90, i eq0 = 73.1, i eq0 = 63.4, i eq0 =

a = 4.47 R E, 1/ =0.33, h p0 =600 km, 0 = 0.43 i eq0 0 eq0 c/ t лет а б в г a б в г 35 i eq0 = 90 i eq0 = 73 i eq0 = 46

2 Примеры эволюции параметров (, ) при разных значениях 0 и разных начальных значениях угловых элементов при a= 10 R E (при =0.0529) 5 0 i eq0 0 eq0 c

Расчет эволюции некоторых типовых орбит Орбита типа «Молния» Орбита типа «ГЛОНАС» Орбита типа «GPS» 37

Эволюция в течение 10 лет орбиты типа Молния с начальными данными: a = km (4.15 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = , 0 = 270, eq0 = 0 =15.04, c/ = Эволюция, имеет либрационный характер, возрастает

Эволюция в течение 10 лет орбиты типа Молния с начальными данными: a = km (4.15 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = , 0 = 270, eq0 =180 =15.04, c/ = убывает

Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GLONAS с начальными данными: a = km (3.98 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = 64.8, 0 = 0, eq0 = 0 =5.17, c/ = убывает

Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GLONAS с начальными данными: a = km (3.98 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = 64.8, 0 = 0, eq0 =

Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GPS с начальными данными: a = km (4.16 R E ), e 0 =0.005, 0 = , i eq0 = 55, 0 = 270, eq0 = 270 =4.22, c/ =

Эволюция в течение 40 лет орбиты типа GPS с начальными данными: a = km (4.16 R E ), e 0 =0.05, 0 = , i eq0 = 55, 0 = 0, eq0 = 0 =4.22, c/ =

Список литературы 1.Лидов М.Л. О приближенном анализе эволюции орбит искусственных спутников // Сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. Москва ноября М: Астрономический Совет АН СССР, С Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника при совместном влиянии внешнего тела и нецентральности поля планеты // Космические Исследования XII. 2. с Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М., Таратынова Г.П. Определение времени существования искусственного спутника Земли и исследование вековых возмущений его орбиты // УМН, LXIII. 1a. C Проскурин В.Ф., Батраков Ю.В. Возмущения в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли // Бюл. ин-та теор. Астрон. АН СССР, 1960, 7, 7, С , (1960, 11029) 5.Вашковьяк М.А. О периодически эволюционирующих спутниковых орбитах в двукратно осредненной задаче Хилла при некомпланарности плоскостей движения возмущающей точки и экватора сжатой планеты // Письма в АЖ, С Вашковьяк М.А. Построение семейств периодически эволюционирующих спутниковых орбит в областях примерно равного полярного сжаьия планеты и притяжения внешнего тела // Письма в АЖ, С